X_1, X_2, \dots, X_n (n > 1) rastgele değişkenleri, (0, \theta) aralığında düzgün (uniform… — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \dots, X_n$ ( $n > 1$ ) rastgele değişkenleri, $(0, \theta)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahip bir kitleyi temsil eden bir örneklem olsun. $\theta$ parametresi için yansız bir tahmin edici olarak $T_1 = 2X_1$ alınmıştır.

Bu kitle için yeterli (sufficient) istatistiğin $S = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ olduğu bilinmektedir. Bir istatistikçi, Rao-Blackwell teoremini kullanarak $T_1$ tahmin edicisini $S$ yeterli istatistiği üzerinden koşullandırıp ( $T^* = E[T_1 \mid S]$ ) daha iyi bir $T^*$ tahmin edicisi elde etmiştir.

Buna göre, orijinal tahmin edicinin varyansı ile Rao-Blackwell teoremi sonucunda elde edilen yeni tahmin edicinin varyansı arasındaki fark ( $Var(T_1) - Var(T^*)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{\theta^2}{n(n+2)}$
B
$\frac{\theta^2(n-1)}{3n}$
$\frac{\theta^2(n^2+2n-3)}{3n(n+2)}$ Cevap
D
$\frac{\theta^2}{3}$
E
$\frac{\theta^2(n^2+2n+3)}{3n(n+2)}$

Cevap

Rao-Blackwell teoremi uygulanarak elde edilen yeni tahmin edicinin varyansı ile orijinal tahmin edicinin varyansı arasındaki fark

\frac{\theta^2(n^2+2n-3)}{3n(n+2)}

ifadesine eşittir.

Rao-Blackwell teoremine göre

T^* = E[2X_1 \mid S]

hesaplanmalıdır. Pratik olarak,

S = \max(X_1, \dots, X_n)

tam (complete) ve yeterli bir istatistik olduğundan, Lehmann-Scheffe teoremi gereği

S

'nin beklenen değeri

E(S) = \frac{n}{n+1}\theta

kullanılarak doğrudan yansız tahmin edici (UMVUE) olan

T^* = \frac{n+1}{n}S

elde edilebilir. Orijinal tahmin edicinin varyansı

Var(2X_1) = \frac{\theta^2}{3}

'tür. Yeni tahmin edicinin varyansı ise

Var(T^*) = \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 Var(S) = \frac{\theta^2}{n(n+2)}

olarak bulunur. Bu iki değerin farkı alındığında elde edilen iyileştirme miktarı

\frac{\theta^2(n^2+2n-3)}{3n(n+2)}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

T_1 = 2X_1

tahmin edicisinin varyansını hesaplamak.

Var(T_1) = 4 Var(X_1) = 4 \left(\frac{\theta^2}{12}\right) = \frac{\theta^2}{3}

olarak bulunur.

Varyans farkını bulabilmek için öncelikle orijinal tahmin edicinin varyansına ihtiyacımız vardır.

Rao-Blackwell teoremi ile

T^* = E[2X_1 \mid S]

koşullu beklenen değerini bulmak (veya tamlık özelliğini kullanmak).

S = \max(X_1, \dots, X_n)

istatistiğinin beklenen değeri

E(S) = \frac{n}{n+1}\theta

'dır.

S

tam ve yeterli istatistik olduğundan, UMVUE doğrudan

T^* = \frac{n+1}{n}S

olarak elde edilir.

Teorem gereği, yeterli istatistik üzerinden koşullandırma yapılarak daha düşük varyanslı yansız tahmin edici elde edilir.

T^* = \frac{n+1}{n}S

tahmin edicisinin varyansını hesaplamak.

S

'nin varyansı

Var(S) = \frac{n\theta^2}{(n+2)(n+1)^2}

formülüyle bulunur. Buradan

Var(T^*) = \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 Var(S) = \frac{\theta^2}{n(n+2)}

sonucu çıkar.

Yeni tahmin edicinin varyansını elde edip ilk varyans ile karşılaştırmak hedeflenmektedir.

İki varyans arasındaki farkı bulmak.

\frac{\theta^2}{3} - \frac{\theta^2}{n(n+2)} = \frac{\theta^2 n(n+2) - 3\theta^2}{3n(n+2)} = \frac{\theta^2(n^2+2n-3)}{3n(n+2)}

şeklinde hesaplanır.

Soru bizden iyileştirme miktarını (varyans farkını) istemektedir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Varyans İyileştirmesi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru