Bir elektronik cihazın ömrü (saat cinsinden), beklenen değeri \theta olan üstel dağılıma (… — KPSS İstatistik

Bir elektronik cihazın ömrü (saat cinsinden), beklenen değeri $\theta$ olan üstel dağılıma (Exponential) sahiptir. Bu cihazlardan $n$ ( $n > 1$ ) tanesi rastgele seçilerek ömürleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak gözlemlenmiştir.

$\theta$ parametresinin tahmini için, yansız bir tahmin edici olarak sadece ilk gözlem değeri olan $T = X_1$ önerilmiştir. Ancak bir istatistik uzmanı, $S = \sum_{i=1}^n X_i$ yeterli istatistiğini kullanarak Rao-Blackwell teoremi yardımıyla $\phi(S) = E(T \mid S)$ şeklinde yeni bir tahmin edici elde edilebileceğini belirtmiştir.

Buna göre, başlangıçtaki $T$ tahmin edicisinin varyansı ile Rao-Blackwell teoremi sonucunda elde edilen $\phi(S)$ tahmin edicisinin varyansı arasındaki fark ( $Var(T) - Var(\phi(S))$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{(n-1)\theta^2}{n}$ Cevap
B
$\frac{\theta^2}{n}$
C
$\theta^2$
D
$\frac{(n-1)\theta^2}{n^2}$
E
$\frac{n\theta^2}{n-1}$

Cevap

Başlangıç varyansı ile iyileştirilmiş varyans arasındaki farkı gösteren \frac{(n-1)\theta^2}{n} ifadesidir.

Üstel dağılımda ortalaması

\theta

olan kitleden çekilen örneklemde

X_1

'in varyansı

\theta^2

'dir. Rao-Blackwell teoremi yeterli istatistik

S = \sum X_i

üzerine koşullandırarak simetri özelliğiyle yeni tahmin ediciyi

\bar{X}

olarak bulmamızı sağlar.

\bar{X}

'in varyansı

\frac{\theta^2}{n}

'dir. Bu ikisi arasındaki fark

\theta^2 - \frac{\theta^2}{n} = \frac{(n-1)\theta^2}{n}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

Başlangıç tahmin edicisinin (T) varyansını hesaplayın.

T = X_1

X_i \sim Exp(1/\theta)

(beklenen değeri

\theta

olan üstel dağılım) olduğu için

E(X_1) = \theta

Var(X_1) = \theta^2

bulunur.

Varyans farkını bulmak için öncelikle orijinal tahmin edicinin varyansına ihtiyaç vardır.

Rao-Blackwell teoremi ile yeni tahmin ediciyi (

\phi(S)

) türetin.

Gözlemler bağımsız ve aynı dağılımlı olduğundan

E(X_i \mid S)

tüm

i

'ler için aynıdır.

\sum_{i=1}^n E(X_i \mid S) = E(S \mid S) = S

eşitliğinden

n \cdot E(X_1 \mid S) = S

ve dolayısıyla

\phi(S) = S/n = \bar{X}

elde edilir.

Yeterli istatistik

S

verildiğinde

X_1

'in koşullu beklenen değeri, iyileştirilmiş yansız tahmin ediciyi verir.

Yeni tahmin edicinin (

\phi(S)

) varyansını bulun.

\phi(S) = \bar{X}

olduğundan,

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X_1)}{n} = \frac{\theta^2}{n}

olarak hesaplanır.

Fark formülünde yerine koymak için iyileştirilmiş tahmin edicinin varyansı gereklidir.

İki varyans arasındaki farkı hesaplayın.

Var(T) - Var(\phi(S)) = \theta^2 - \frac{\theta^2}{n} = \frac{n\theta^2 - \theta^2}{n} = \frac{(n-1)\theta^2}{n}

bulunur.

Soruda açıkça başlangıç varyansı ile Rao-Blackwell sonrası varyansın farkı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell teoremi ile tahmin edicinin varyansının küçültülmesi ve koşullu beklenen değer özelliklerinin simetri yardımıyla kullanımı.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru