Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇok Değişkenli Normal Dağılımda Bağımsızlık

Çok değişkenli analiz uygulamalarında bir araştırmacı, pp-boyutlu X\mathbf{X} rasgele vektörünü X1\mathbf{X}_1 (qq-boyutlu) ve X2\mathbf{X}_2 ((p−q)(p-q)-boyutlu) olmak üzere iki parçaya ayırmıştır. Araştırmacı, X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 vektörlerinin kendi içlerinde marjinal olarak çok değişkenli normal dağılıma sahip olduklarını ve bu iki alt vektör arasındaki parçalanmış kovaryans matrisinin sıfır matrisi (Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}) olduğunu hesaplamıştır.

Bu bilgilere göre, X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 alt vektörlerinin bağımsızlık durumu hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle söylenebilir?

  1. A
    Marjinal dağılımları normal ve aralarındaki kovaryans matrisi sıfır (Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}) olduğundan, bu iki vektör ortak dağılıma bakılmaksızın kesinlikle birbirinden bağımsızdır.
  2. B
    Bağımsızlık kararı verebilmek için koşullu varyans matrisi formülündeki (Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21}) matris işlemlerinin yapılarak sonucun birim matrise eşit olup olmadığının kontrol edilmesi şarttır.
  3. Ortak (joint) dağılımlarının çok değişkenli normal dağılım olduğu bilinmediği sürece, kovaryans matrisinin sıfır olması bu iki vektörün birbirinden bağımsız olduğunu kesin olarak göstermez.Cevap
  4. D
    Vektörlerin bağımsız kabul edilebilmesi için Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} olmasının yanı sıra, Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11} ve Σ22\boldsymbol{\Sigma}_{22} matrislerinin iz (trace) değerlerinin çarpımının matris determinantlarına eşit olması gerekir.
  5. E
    Bağımsızlığın sağlanması için Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} koşuluna ek olarak, alt varyans-kovaryans matrislerinin çarpımlarının değişme özelliğine (Σ11Σ22=Σ22Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11}\boldsymbol{\Sigma}_{22} = \boldsymbol{\Sigma}_{22}\boldsymbol{\Sigma}_{11}) sahip olması zorunludur.

Cevap

Ortak (joint) dağılımlarının çok değişkenli normal dağılım olduğu bilinmediği sürece, kovaryans matrisinin sıfır olması bu iki vektörün birbirinden bağımsız olduğunu kesin olarak göstermez.
Çok değişkenli istatistik teorisinde, ortak dağılımı normal olmayan ancak marjinal dağılımları normal olan rasgele vektörler tanımlanabilmektedir. Bir X\mathbf{X} vektörünün alt bileşenlerinin (X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2) kovaryans matrisinin sıfır (Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}) olması durumunda bağımsız olduklarını kesin olarak söyleyebilmek için, bu bileşenlerin ortak (joint) dağılımlarının mutlaka çok değişkenli normal dağılıma sahip olması gerekir. Soruda araştırmacı sadece marjinal normalliği teyit ettiği için, bağımsızlık sonucuna kesin olarak varılamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen istatistiksel varsayımları analiz etme
Araştırmacının yalnızca marjinal normallik ve Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} şartlarını belirlediği tespit edilir.
Bağımsızlık teoreminin uygulanabilmesi için mevcut istatistiksel koşulların yeterliliğini anlamak.
2
Çok değişkenli normal dağılımda bağımsızlık teoreminin temel şartlarını hatırlama
İki rasgele vektörün Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} şartı ile bağımsız olabilmesi için, yalnızca marjinal olarak değil, 'ortak (joint)' olarak da çok değişkenli normal dağılıma sahip olmaları gerektiği kuralı hatırlanır.
Marjinal normalliğin her zaman ortak normalliği garanti etmediği kuralını uygulamak.
3
Mevcut bulgular ile teorik gereklilikleri karşılaştırma
Araştırmacının ortak dağılımın normalliğini doğrulamadığı, dolayısıyla yalnızca kovaryans matrisinin sıfır olmasına bakılarak kesin bir bağımsızlık hükmü verilemeyeceği sonucuna varılır.
Varsayım eksikliğinden (ortak normallik) dolayı bağımsızlığın kesin olarak iddia edilemeyeceğini teorik olarak kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Ortak Normallik ve Bağımsızlık İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Bağımsızlık

Bu konudan daha fazla soru