\mathbf{X} (p \times 1) ve \mathbf{Y} (q \times 1) boyutlu iki rasgele vektör olmak üzere,… — KPSS İstatistik

$\mathbf{X}$ ( $p \times 1$ ) ve $\mathbf{Y}$ ( $q \times 1$ ) boyutlu iki rasgele vektör olmak üzere, bu iki vektör arasındaki çapraz kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}_{XY} = \mathbf{0}$ olarak verilmiştir.

İstatistiksel olarak kovaryansın (veya korelasyonun) sıfır olması, değişkenlerin her zaman birbirinden bağımsız olduğunu garanti etmez. Ancak belirli bir dağılımsal yapı altında ilişkisizlik ile bağımsızlık eşdeğer hale gelir.

Buna göre, sadece $\boldsymbol{\Sigma}_{XY} = \mathbf{0}$ bilgisine dayanarak $\mathbf{X}$ ve $\mathbf{Y}$ rasgele vektörlerinin istatistiksel olarak birbirinden kesinlikle bağımsız olduğu sonucuna varabilmek için aşağıdaki koşullardan hangisinin sağlanması gerekli ve yeterlidir?

$\mathbf{Z} = [\mathbf{X}^T, \mathbf{Y}^T]^T$ birleşik rasgele vektörünün çok değişkenli normal dağılıma sahip olmasıCevap
B
$\mathbf{X}$ ve $\mathbf{Y}$ rasgele vektörlerinin her birinin ayrı ayrı (marjinal olarak) çok değişkenli normal dağılıma sahip olması
C
$\mathbf{X}$ 'in $\mathbf{Y}$ verildiğindeki koşullu kovaryans matrisi hesaplanırken kullanılan $\boldsymbol{\Sigma}_{XY}\boldsymbol{\Sigma}_{YY}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{YX}$ çarpım diziliminin yer değiştirebilir olması
D
Birleşik varyans-kovaryans matrisinin determinantının, $\mathbf{X}$ ve $\mathbf{Y}$ 'nin marjinal varyans matrislerinin izleri (trace) toplamına eşit olması
E
Çapraz kovaryans matrislerinin matris çarpımında değişme özelliği göstererek $\boldsymbol{\Sigma}_{XY}\boldsymbol{\Sigma}_{YX} = \boldsymbol{\Sigma}_{YX}\boldsymbol{\Sigma}_{XY}$ eşitliğini sağlaması

Cevap

Birleşik rasgele vektörün çok değişkenli normal dağılıma sahip olması

Çok değişkenli istatistikte,

\mathbf{X}

\mathbf{Y}

vektörlerinden oluşan birleşik vektörün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, çapraz kovaryans matrisinin sıfır olması (

\boldsymbol{\Sigma}_{XY} = \mathbf{0}

), bu iki vektörün tamamen bağımsız olduğu anlamına gelir. Birleşik dağılım normalliği, ilişkisizliğin bağımsızlığa denk olması için temel ve gerekli şarttır.

Adım Adım Çözüm

Kovaryansın sıfır olması ile bağımsızlık arasındaki teorik ilişkinin analiz edilmesi

Genel olarak kovaryansın sıfır olması (ilişkisizlik) bağımsızlığı garanti etmez, yalnızca doğrusal bir ilişkinin olmadığını gösterir.

Bağımsızlık daha güçlü bir şarttır ve doğrusal olmayan bağımlılıkların da bulunmamasını gerektirir.

Çok değişkenli normal dağılım varsayımı altındaki özel durumun hatırlanması

Değişkenler birleşik (ortak) olarak çok değişkenli normal dağılıma sahipse, ilişkisizlik kesin olarak bağımsızlık anlamına gelir.

Çok değişkenli normal dağılımın matematiksel yapısı gereği, varyans-kovaryans matrisindeki çapraz elemanların sıfır olması ortak yoğunluk fonksiyonunu iki marjinal yoğunluk fonksiyonunun çarpımına ayırır.

Ortak dağılım ve marjinal dağılım koşullarının ayırt edilmesi

İki vektörün ayrı ayrı normal dağılması (marjinal normallik), birlikte normal dağıldıklarını kanıtlamaz.

Sıfır kovaryansa sahip iki marjinal normal vektör, birleşik normal dağılıma sahip değillerse bağımlı olabilirler. Bu nedenle gerekli ve yeterli koşul ortak dağılımın normalliğidir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Bağımsızlık ve Ortak Normallik Varsayımı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru