Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇok Değişkenli Normal Dağılımda Bağımsızlık

Üç değişkenli X=(X1,X2,X3)T\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)^T rasgele vektörü, ortalama vektörü μ=(μ1,μ2,μ3)T\boldsymbol{\mu} = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)^T ve varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma} olan çok değişkenli normal dağılıma sahiptir.

Σ=[830350004] \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 8 & 3 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}

Bu dağılımla ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. X3X_3 değişkeni, (X1,X2)T(X_1, X_2)^T rasgele vektöründen bağımsızdır.Cevap
  2. B
    X1X_1 ve X2X_2'nin yalnızca marjinal dağılımlarının normal olması, bu iki değişkenin bağımsız olduğunu garanti eder.
  3. C
    (X1,X2)T(X_1, X_2)^T vektörünün X3=x3X_3 = x_3 koşulu altındaki beklenen değeri hesaplandığında, elde edilen sonuç x3x_3'ün alacağı değere bağlı olarak değişir.
  4. D
    Varyans-kovaryans matrisinin determinantı sıfırdan büyük olduğu için, bu vektördeki hiçbir değişken birbiriyle bağımsız olamaz.
  5. E
    Matrisin izi (trace) 17 olduğu için X1,X2X_1, X_2 ve X3X_3 değişkenlerinin tamamı birbirinden tam bağımsızdır.

Cevap

Çok değişkenli normal dağılıma sahip X\mathbf{X} vektörünün kovaryans matrisinde X3X_3 ile diğer değişkenler arasındaki kovaryans değerleri sıfır olduğu için, X3X_3 değişkeni (X1,X2)T(X_1, X_2)^T rasgele vektöründen bağımsızdır.
Çok değişkenli normal dağılımda, eğer rastgele bir X\mathbf{X} vektörü alt vektörlere ayrılıyorsa, bu alt vektörlerin bağımsız olması için aralarındaki kovaryans matrisinin sıfır matrisi olması gerekir ve yeterlidir. Verilen Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisinde, X1X_1 ve X3X_3 ile X2X_2 ve X3X_3 arasındaki kovaryans değerleri sıfırdır (σ13=0,σ23=0\sigma_{13}=0, \sigma_{23}=0). Bu nedenle, X3X_3 değişkeni tek başına (X1,X2)T(X_1, X_2)^T rastgele vektöründen tamamen bağımsızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Varyans-kovaryans matrisini (Σ\boldsymbol{\Sigma}) alt matrislere parçalayarak (partitioning) değişken grupları arasındaki ilişkileri incele.
Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisi, Σ11=[8335]\boldsymbol{\Sigma}_{11} = \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}, Σ22=[4]\boldsymbol{\Sigma}_{22} = \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix} ve aralarındaki ilişkiyi gösteren Σ12=Σ21T=[00]\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \boldsymbol{\Sigma}_{21}^T = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} şeklinde alt matrislere ayrılır.
Çok değişkenli normal dağılımda alt vektörlerin bağımsızlığı, aralarındaki kovaryans (çapraz) matrisinin sıfır matrisi olup olmadığına bakılarak belirlenir.
2
Parçalanmış alt matrislerden Σ12\boldsymbol{\Sigma}_{12} ve Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{21} bileşenlerinin değerlerini kontrol et.
σ13=0\sigma_{13} = 0 ve σ23=0\sigma_{23} = 0 olduğu için çapraz kovaryans matrisi tamamen sıfırlardan oluşmaktadır (Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}).
Sıfır kovaryans matrisi, bu iki grubun doğrusal olarak ilişkisiz olduğunu gösterir.
3
Çok değişkenli normal dağılım teorisi kurallarını uygula.
Çok değişkenli normal dağılıma sahip vektörlerde sıfır kovaryans bağımsızlığı doğrudan garanti ettiğinden, X3X_3 değişkeninin (X1,X2)T(X_1, X_2)^T vektöründen istatistiksel olarak bağımsız olduğu sonucuna varılır.
Normal dağılımın temel özelliklerinden biri, ilişkisizliğin (sıfır kovaryans) bağımsızlığa denk olmasıdır.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda, rasgele vektörlerin alt grupları arasındaki kovaryans matrisi sıfır ise bu alt gruplar istatistiksel olarak bağımsızdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Bağımsızlık

Bu konudan daha fazla soru