Examkin

Çok Değişkenli Normal Dağılım

105 soru

Soru 1Soru →

X\mathbf{X} rastgele vektörü, pp boyutlu, ortalama vektörü μ\boldsymbol{\mu} ve pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma} olan çok değişkenli normal dağılıma sahiptir (X∼Np(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})). A\mathbf{A}, p×pp \times p boyutlu simetrik bir sabitler matrisi olmak üzere, (X−μ)′A(X−μ)(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})'\mathbf{A}(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}) karesel formunun kk serbestlik dereceli ki-kare dağılımına (χk2\chi^2_k) uyması için gerekli ve yeterli koşullar aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} matrisinin idempotent olması ve k=iz(AΣ)k = iz(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})

Cevap

Doğru yanıt, karesel formu oluşturan AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} çarpım matrisinin idempotent olması ve serbestlik derecesinin bu matrisin izine (köşegen elemanları toplamına) eşit olması gerektiğini belirten seçenektir.
Çok değişkenli normal dağılım kuramına göre, bir karesel formun ki-kare dağılımına sahip olabilmesi için, karesel formu oluşturan matris (A\mathbf{A}) ile dağılımın varyans-kovaryans matrisinin (Σ\boldsymbol{\Sigma}) çarpımından elde edilen AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} matrisinin idempotent olması şarttır. Bu koşul sağlandığında, serbestlik derecesi söz konusu idempotent matrisin rankına, dolayısıyla izine (trace) eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Çok değişkenli normal dağılımda karesel formların ki-kare dağılımına uyma koşulunu (teoremi) belirlemek.
Genel forma göre, Y∼Np(0,Σ)\mathbf{Y} \sim N_p(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma}) olmak üzere Y′AY\mathbf{Y}'\mathbf{A}\mathbf{Y} karesel formunun χ2\chi^2 dağılması için AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} matrisinin idempotent (AΣAΣ=AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) olması gerekir.
Karesel formun dağılımının, bağımsız standart normal değişkenlerin kareleri toplamına indirgenebilmesi için matris cebirindeki bu dönüşüm kuralı zorunludur.
2
Ki-kare dağılımının serbestlik derecesini hesaplamak.
Ki-kare dağılımının serbestlik derecesi kk, idempotent matrisin rankına eşittir. İdempotent matrislerde rank, matrisin izine (trace) eşit olduğundan k=rank(AΣ)=iz(AΣ)k = rank(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = iz(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) olur.
Serbestlik derecesi, dağılımı oluşturan sıfırdan farklı bağımsız bileşenlerin sayısını (özdeğerleri) ifade eder.

Anahtar Kavram

Karesel Formların Dağılımı ve İdempotent Matrisler
Soru 2Soru →

Bir sağlık araştırmasında, hastaların fizyolojik ölçümleri ve biyokimyasal kan değerlerinden oluşan X\mathbf{X} rastgele vektörü iki alt gruba ayrılmıştır: X1\mathbf{X}_1 (fizyolojik ölçümler) ve X2\mathbf{X}_2 (kan değerleri). Bu X=[X1X2]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} \mathbf{X}_1 \\ \mathbf{X}_2 \end{bmatrix} vektörünün μ\boldsymbol{\mu} ortalama vektörü ve Σ\boldsymbol{\Sigma} varyans-kovaryans matrisi ile çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisi, alt vektörlerin boyutlarına uygun olarak Σ=[Σ11Σ12Σ21Σ22]\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11} & \boldsymbol{\Sigma}_{12} \\ \boldsymbol{\Sigma}_{21} & \boldsymbol{\Sigma}_{22} \end{bmatrix} biçiminde parçalanmıştır.

Buna göre, çok değişkenli normal dağılımın özellikleri ve parametre matrisleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} sıfır matrisine eşitse, X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 alt vektörleri istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır.

Cevap

Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} sıfır matrisine eşitse, X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 alt vektörleri istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır.
Çok değişkenli normal dağılımın en temel ve ayırt edici özelliklerinden biri, rassal vektörün bileşenleri (veya parçalanmış alt vektörleri) arasındaki kovaryans matrisinin sıfır matrisine (0\mathbf{0}) eşit olmasının, bu bileşenlerin istatistiksel olarak tamamen bağımsız olduğu anlamına gelmesidir. Diğer pek çok dağılımda kovaryansın sıfır olması bağımsızlığı garantilemezken, çok değişkenli normal dağılım modelinde bu teorem kesin olarak geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
Çok değişkenli normal dağılımda alt vektörler arası bağımsızlık koşulunu değerlendirmek.
Çapraz kovaryans matrisi sıfır (Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}) ise alt vektörler bağımsızdır.
Sıfır kovaryansın bağımsızlığı gerektirmesi, normal dağılımın ayırt edici temel özelliklerinden biridir.
2
Diğer seçeneklerdeki matris işlemleri ve dağılım özelliklerinin doğruluğunu kontrol etmek.
Marjinal normalliğin ortak normalliği garantilemediği, koşullu varyans formülündeki çarpım sırasının yanlış olduğu, iz ve determinant kavramlarının karıştırıldığı tespit edilmiştir.
Teorik parametre formüllerindeki boyut uyumsuzluklarını ve kavram yanılgılarını elemek.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Teorik Özellikleri ve Parametre Matrisleri
Soru 3Soru →

Çok değişkenli normal dağılım (MVNMVN) sergileyen bir X\mathbf{X} rasgele vektörü, X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 şeklinde iki alt vektöre ayrılmıştır. Bu iki alt vektörün istatistiksel olarak bağımsızlığı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Alt vektörler arasındaki kovaryans matrisinin sıfır matris (Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}) olması, bağımsızlık için hem gerekli hem de yeterli koşuldur.

Cevap

Çok değişkenli normal dağılım altında, iki alt vektörün bağımsızlığı için aralarındaki kovaryans matrisinin sıfır matris olması hem gerekli hem de yeterli koşuldur.
Çok değişkenli normal dağılıma sahip bir rasgele vektörün alt vektörleri arasındaki istatistiksel bağımsızlık, bu alt vektörler arasındaki kovaryans matrisinin (Σ12\boldsymbol{\Sigma}_{12}) sıfır matrisi olmasına tam olarak eşdeğerdir. Bu, MVN'nin yoğunluk fonksiyonunun matematiksel yapısından kaynaklanan ve sadece bu dağılım ailesine özgü olan güçlü bir özelliktir.

Adım Adım Çözüm

1
Çok değişkenli normal dağılımın (MVNMVN) ayırt edici özelliğini tanımlayın.
X∼Np(μ,Σ)X \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) dağılımında, bileşenler arasındaki bağımsızlık ile korelasyon yapısı doğrudan ilişkilidir.
Genel dağılımlarda sıfır korelasyon bağımsızlığı gerektirmezken, MVN ailesinde bu iki kavram özdeştir.
2
Vektör parçalanışını ve kovaryans matrisi yapısını inceleyin.
Σ=[Σ11Σ12Σ21Σ22]\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11} & \boldsymbol{\Sigma}_{12} \\ \boldsymbol{\Sigma}_{21} & \boldsymbol{\Sigma}_{22} \end{bmatrix} yapısında, Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} olması durumunda matris blok köşegen hale gelir.
Blok köşegen kovaryans matrisi, alt vektörler arasında doğrusal bir ilişki olmadığını gösterir.
3
Bağımsızlık teoremini uygulayın.
Ortak dağılım normal olduğunda, X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 ancak ve ancak Cov(X1,X2)=Σ12=0\text{Cov}(\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2) = \boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0} ise bağımsızdır.
Bu özellik, çok değişkenli normal yoğunluk fonksiyonunun çarpım şeklinde çarpanlarına ayrılabilmesinin (factorization) sonucudur.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda (MVN) sıfır kovaryans, istatistiksel bağımsızlık için gerekli ve yeterli bir koşuldur; ancak bu durumun geçerli olması için 'ortak' dağılımın normal olması şarttır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →

Çok değişkenli normal dağılıma sahip bir X\mathbf{X} rasgele vektörü, X=[X1X2]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} \mathbf{X}_1 \\ \mathbf{X}_2 \end{bmatrix} şeklinde iki alt vektöre parçalanmıştır. Bu vektörün parametreleri μ=[μ1μ2]\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mu}_1 \\ \boldsymbol{\mu}_2 \end{bmatrix} ve Σ=[Σ11Σ12Σ21Σ22]\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11} & \boldsymbol{\Sigma}_{12} \\ \boldsymbol{\Sigma}_{21} & \boldsymbol{\Sigma}_{22} \end{bmatrix} olarak verildiğine göre, X1\mathbf{X}_1 alt vektörünün marjinal dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: X1∼N(μ1,Σ11)\mathbf{X}_1 \sim N(\boldsymbol{\mu}_1, \boldsymbol{\Sigma}_{11})

Cevap

X1\mathbf{X}_1 alt vektörünün marjinal dağılımı, ilgili alt ortalama vektörü μ1\boldsymbol{\mu}_1 ve alt kovaryans matrisi Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11} ile tanımlanan N(μ1,Σ11)N(\boldsymbol{\mu}_1, \boldsymbol{\Sigma}_{11}) dağılımıdır.
Çok değişkenli normal dağılımın (MVN) en önemli özelliklerinden biri, bir vektörün alt bileşenlerinin (marjinal dağılımlarının) her zaman normal dağılmasıdır. Parçalanmış matris notasyonunda, X1\mathbf{X}_1 alt vektörüne karşılık gelen ortalama μ1\boldsymbol{\mu}_1 ve varyans-kovaryans matrisi Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11} bloklarıdır. Bu nedenle dağılım doğrudan bu parametrelerle ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Vektör parçalanışını analiz etme
X\mathbf{X} vektörü pp boyutlu ise ve X1\mathbf{X}_1 vektörü q<pq < p boyutlu ise, matris yapısı bu boyutlara göre ayrılır.
Hangi parametrelerin hangi alt vektöre ait olduğunu belirlemek için gereklidir.
2
Çok değişkenli normal dağılım teoremini uygulama
Teorem: Eğer X∼Np(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) ise, herhangi bir alt küme Xa\mathbf{X}_a marjinal olarak N(μa,Σaa)N(\boldsymbol{\mu}_a, \boldsymbol{\Sigma}_{aa}) dağılımına sahiptir.
Marjinal dağılımın türünü ve parametrelerini doğrudan belirleyen temel özelliktir.
3
Parametreleri eşleştirme
X1\mathbf{X}_1 için ortalama μ1\boldsymbol{\mu}_1 ve varyans-kovaryans matrisi Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11} olarak seçilir.
Parçalanmış matris notasyonunda köşegen üzerindeki ilk blok marjinal yapıyı verir.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılıma sahip bir rasgele vektörün herhangi bir alt kümesi (marjinal dağılımı) de normal dağılım gösterir. Ancak bunun tersi her zaman doğru değildir; marjinalleri normal olan her vektör çok değişkenli normal dağılmayabilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 5Soru →

Bir sistemin iki farklı bileşeninin performans skorları (X1,X2)(X_1, X_2) tesadüfi vektörü ile modellenmiştir. Bu vektörün iki değişkenli normal dağılıma sahip olduğu, ortalama vektörünün ve varyans-kovaryans matrisinin sırasıyla

μ=[812]veΣ=[25101016]\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 8 \\ 12 \end{bmatrix} \quad \text{ve} \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 25 & 10 \\ 10 & 16 \end{bmatrix}

olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. X2=20X_2 = 20 olarak gözlemlendiğinde X1X_1'in beklenen değeri E(X1∣X2=20)E(X_1 | X_2 = 20),
II. X2=20X_2 = 20 olarak gözlemlendiğinde X1X_1'in varyansı Var(X1∣X2=20)Var(X_1 | X_2 = 20),
III. X1−cX2X_1 - cX_2 tesadüfi değişkeninin X2X_2 ile istatistiksel olarak bağımsız olmasını sağlayan cc sabiti

değerleri sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13;754;5813 \quad ; \quad \frac{75}{4} \quad ; \quad \frac{5}{8}

Cevap

Doğru hesaplanan değerler sırasıyla 1313, 754\frac{75}{4} ve 58\frac{5}{8} şeklindedir.
İki değişkenli normal dağılımın temel özelliklerine göre işlemler adım adım uygulandığında: 1) Koşullu beklenen değer formülünden E(X1∣X2=20)=8+1016(20−12)=13E(X_1 | X_2 = 20) = 8 + \frac{10}{16}(20 - 12) = 13 elde edilir. 2) Koşullu varyans formülünden Var(X1∣X2=20)=25−10216=754Var(X_1 | X_2 = 20) = 25 - \frac{10^2}{16} = \frac{75}{4} bulunur. 3) Bağımsızlık için iki ifadenin kovaryansının sıfır olması gerektiğinden Cov(X1−cX2,X2)=10−16c=0Cov(X_1 - cX_2, X_2) = 10 - 16c = 0 denklemi çözülerek c=58c = \frac{5}{8} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu beklenen değerin formülünü uygulayarak E(X1∣X2=20)E(X_1 | X_2 = 20) değerini hesaplamak.
E(X1∣X2=20)=8+1016(20−12)=8+5=13E(X_1 | X_2 = 20) = 8 + \frac{10}{16}(20 - 12) = 8 + 5 = 13 bulunur.
İki değişkenli normal dağılımda koşullu beklenen değer E(X1∣X2=x2)=μ1+σ12σ22(x2−μ2)E(X_1 | X_2 = x_2) = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_2^2}(x_2 - \mu_2) formülü ile bulunur.
2
Koşullu varyans formülünü kullanarak Var(X1∣X2=20)Var(X_1 | X_2 = 20) değerini hesaplamak.
Var(X1∣X2=20)=25−10216=25−6.25=18.75=754Var(X_1 | X_2 = 20) = 25 - \frac{10^2}{16} = 25 - 6.25 = 18.75 = \frac{75}{4} bulunur.
İki değişkenli normal dağılımda koşullu varyans Var(X1∣X2=x2)=σ12−σ122σ22Var(X_1 | X_2 = x_2) = \sigma_1^2 - \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_2^2} formülü ile hesaplanır ve X2X_2'nin aldığı değerden bağımsızdır.
3
X1−cX2X_1 - cX_2 ile X2X_2 değişkenlerinin bağımsız olması için gereken cc değerini kovaryans özelliğinden bulmak.
Cov(X1−cX2,X2)=0  ⟹  Cov(X1,X2)−c⋅Var(X2)=0  ⟹  10−16c=0  ⟹  c=1016=58Cov(X_1 - cX_2, X_2) = 0 \implies Cov(X_1, X_2) - c \cdot Var(X_2) = 0 \implies 10 - 16c = 0 \implies c = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} bulunur.
İki değişkenli normal dağılıma sahip değişkenlerin doğrusal kombinasyonları da normal dağılır ve aralarındaki kovaryans sıfır ise istatistiksel olarak tam bağımsızdırlar.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Normal Dağılımda Koşullu Dağılım Özellikleri ve Bağımsızlık Şartı
Soru 6Soru →

XX, p×1p \times 1 boyutlu bir rastgele vektör olmak üzere, μ\mu ortalama vektörü ve Σ\Sigma varyans-kovaryans matrisi ile çok değişkenli normal dağılıma sahiptir. Bu durum X∼Np(μ,Σ)X \sim N_p(\mu, \Sigma) şeklinde ifade edilmektedir.

XX vektörü üzerinden iki farklı doğrusal dönüşüm tanımlanmıştır:
I. Y=AX+bY = AX + b (Burada AA, q×pq \times p boyutlu sabit bir matris ve bb, q×1q \times 1 boyutlu sabit bir vektördür)
II. Z=c′XZ = c'X (Burada cc, p×1p \times 1 boyutlu sabit bir sütun vektörüdür)

Buna göre, YY vektörünün varyans-kovaryans matrisi (Cov(Y)Cov(Y)) ile ZZ değişkeninin varyansı (Var(Z)Var(Z)) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AΣA′A\Sigma A' ve c′Σcc'\Sigma c

Cevap

Doğrusal dönüşümlerin dağılım kuralına göre Cov(AX+b)=AΣA′Cov(AX+b) = A\Sigma A' ve Var(c′X)=c′ΣcVar(c'X) = c'\Sigma c olmalıdır. Bu matematiksel gerçekleri sağlayan ifade AΣA′A\Sigma A' ve c′Σcc'\Sigma c'nin birlikte yer aldığı seçenektir.
Y=AX+bY = AX + b vektörünün varyans-kovaryans matrisi AΣA′A\Sigma A' olarak hesaplanır. Toplam durumundaki sabit bb vektörü varyansa etki etmez. Z=c′XZ = c'X ifadesi 1×p1 \times p boyutunda özel bir doğrusal dönüşümdür ve varyansı c′Σcc'\Sigma c şeklinde 1×11 \times 1 boyutunda skaler bir değer olarak elde edilir. Verilen kurallara ve boyut uyumluluklarına en uygun gösterim budur.

Adım Adım Çözüm

1
Y=AX+bY = AX + b doğrusal dönüşümünün varyans-kovaryans matrisinin hesaplanması.
Cov(Y)=A⋅Cov(X)⋅A′=AΣA′Cov(Y) = A \cdot Cov(X) \cdot A' = A\Sigma A' karesel formu elde edilir.
Sabit matris (AA) ile çarpılan rastgele vektörlerin varyans hesabında sabit matris önden, matrisin transpozu (A′A') ise sondan çarpılır. Eklenti halindeki sabit vektörün (bb) varyansa etkisi yoktur.
2
Z=c′XZ = c'X tek değişkenli doğrusal kombinasyonunun varyansının hesaplanması.
Var(Z)=c′⋅Cov(X)⋅(c′)′=c′ΣcVar(Z) = c' \cdot Cov(X) \cdot (c')' = c'\Sigma c skaler değeri elde edilir.
Bir sütun vektörünün (cc) transpozu olan satır vektörü (c′c'), tıpkı AA matrisi gibi bir dönüşüm operatörüdür. Sağdan transpozunun alınması kuralında (c′)′=c(c')' = c olacağından varyans c′Σcc'\Sigma c biçimine dönüşür.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Doğrusal Dönüşümlerin Varyansı
Soru 7Soru →

Bir eğitim bilimci, öğrencilerin 55 farklı dersteki başarı puanlarını gözlemlemiş ve bu puanları 5×15 \times 1 boyutlu bir X\mathbf{X} rastgele vektörü ile modellemiştir. Öğrencilerin puanlarının, μ\boldsymbol{\mu} ortalama vektörü ve Σ\mathbf{\Sigma} varyans-kovaryans matrisi ile çok değişkenli normal dağılıma uygun olduğu belirlenmiştir.

Eğitim bilimci, öğrencilerin genel akademik başarılarını tek bir skorla özetlemek için 5×15 \times 1 boyutlu sabit bir ağırlık vektörü olan w\mathbf{w} ve sabit bir taban puanı olan cc skalerini kullanarak S=w′X+cS = \mathbf{w}'\mathbf{X} + c denklemi ile bir SS başarı skoru hesaplamaktadır.

Buna göre, elde edilen SS başarı skorunun dağılımı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak ifade edilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: S∼N(w′μ+c,w′Σw)S \sim N(\mathbf{w}'\boldsymbol{\mu} + c, \mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w})

Cevap

Başarı skoru SS, beklenen değeri w′μ+c\mathbf{w}'\boldsymbol{\mu} + c ve varyansı w′Σw\mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w} olan tek değişkenli normal dağılıma sahiptir: S∼N(w′μ+c,w′Σw)S \sim N(\mathbf{w}'\boldsymbol{\mu} + c, \mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w})
Çok değişkenli normal dağılıma sahip X\mathbf{X} vektörünün w′X+c\mathbf{w}'\mathbf{X} + c şeklindeki doğrusal bir dönüşümü tek değişkenli (skaler) normal dağılıma sahip olur. Bu yeni dağılımın beklenen değeri, dönüşüm fonksiyonunun ortalamalara uygulanmasıyla w′μ+c\mathbf{w}'\boldsymbol{\mu} + c olarak bulunur. Varyansı ise sabit cc'nin etkisi sıfır olduğundan sadece ağırlık vektörü ile kovaryans matrisinin w′Σw\mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w} formundaki çarpımıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
S=w′X+cS = \mathbf{w}'\mathbf{X} + c denkleminin beklenen değerini hesaplamak.
E(S)=E(w′X+c)=w′E(X)+c=w′μ+cE(S) = E(\mathbf{w}'\mathbf{X} + c) = \mathbf{w}'E(\mathbf{X}) + c = \mathbf{w}'\boldsymbol{\mu} + c
Beklenen değer (ortalama) doğrusal bir operatördür; sabitlerin beklenen değeri kendisine eşittir ve katsayılar beklenen değer dışına alınabilir.
2
SS denkleminin varyansını hesaplamak.
Var(S)=Var(w′X+c)=w′Var(X)w=w′ΣwVar(S) = Var(\mathbf{w}'\mathbf{X} + c) = \mathbf{w}'Var(\mathbf{X})\mathbf{w} = \mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w}
Varyans hesabında toplama eklenen sabitlerin (cc) varyansa etkisi yoktur (sıfırdır). Vektörel bir katsayı ile çarpımın varyansı matris formuyla w′Σw\mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w} şeklinde elde edilir.
3
Dağılımın türünü ve boyutunu (boyut derecesini) belirlemek.
Çok değişkenli normal dağılıma sahip vektörlerin doğrusal kombinasyonları da normal dağılır. İşlem sonucu skaler olduğu için dağılım tek değişkenlidir.
1×51 \times 5 boyutlu w′\mathbf{w}' ile 5×15 \times 1 boyutlu X\mathbf{X} matrislerinin çarpımı 1×11 \times 1 boyutlu skaler bir değer üretir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Doğrusal Dönüşümler
Soru 8Soru →

X=[X1X2X3]∼N3(μ,Σ)\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} \sim N_3(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) rastgele vektörü için ortalama vektörü ve varyans-kovaryans matrisi aşağıda verilmiştir:

μ=[20−1],Σ=[421230102] \boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}

X\mathbf{X} vektörünün bileşenleri kullanılarak oluşturulan yeni Y\mathbf{Y} rastgele vektörü şu şekilde tanımlanmıştır:

Y=[Y1Y2]=[X1+X2X1−X3] \mathbf{Y} = \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_1 + X_2 \\ X_1 - X_3 \end{bmatrix}

Buna göre, Y\mathbf{Y} vektörünün varyans-kovaryans matrisinin izi (trace) ve determinantı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15 ve 19

Cevap

İz değeri 15, determinant değeri ise 19'dur.
Y=CX\mathbf{Y} = \mathbf{C}\mathbf{X} doğrusal dönüşümü uygulandığında, yeni dağılımın varyans-kovaryans matrisi ΣY=CΣC′\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{C} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{C}' eşitliği ile bulunur. Burada C=[11010−1]\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} olarak yazılır. Gerekli matris çarpımları yapıldığında ΣY=[11554]\boldsymbol{\Sigma}_Y = \begin{bmatrix} 11 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} matrisi elde edilir. Bu matrisin izi, asal köşegen elemanlarının toplamı olan 11+4=1511 + 4 = 15'tir. Determinantı ise (11×4)−(5×5)=44−25=19(11 \times 4) - (5 \times 5) = 44 - 25 = 19 olarak hesaplanır. Dolayısıyla iz 15, determinant 19 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Y vektörünü tanımlayan doğrusal dönüşüm matrisini (C) oluştur.
C=[11010−1]\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} matrisi elde edilir.
Y=CX\mathbf{Y} = \mathbf{C}\mathbf{X} formunda yazabilmek ve varyans-kovaryans matrisini dönüştürebilmek için katsayılar matrisine ihtiyaç vardır.
2
Y vektörünün varyans-kovaryans matrisini ΣY=CΣC′\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{C} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{C}' formülü ile hesapla.
CΣ=[65132−1]\mathbf{C}\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 6 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{bmatrix} ve CΣC′=[11554]\mathbf{C}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{C}' = \begin{bmatrix} 11 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} bulunur.
Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal dönüşümlerin varyans-kovaryans matrisi bu formülle elde edilir.
3
Elde edilen matrisin izini (trace) hesapla.
İz = 11+4=1511 + 4 = 15 olarak bulunur.
Bir kare matrisin izi, asal köşegen üzerindeki elemanların (varyansların) toplamına eşittir.
4
Elde edilen matrisin determinantını hesapla.
Determinant = (11×4)−(5×5)=44−25=19(11 \times 4) - (5 \times 5) = 44 - 25 = 19 olarak bulunur.
2x2 boyutundaki varyans-kovaryans matrisinin determinantı (genelleştirilmiş varyans) köşegen elemanlarının çarpımından köşegen dışı elemanların karesinin çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal dönüşümler ve varyans-kovaryans matrisinin özellikleri
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 9Soru →

X\mathbf{X}, ortalama vektörü μ\boldsymbol{\mu} ve pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma} olan pp-boyutlu bir rassal vektördür. Bu vektör, çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğuna göre, X\mathbf{X} vektörünün ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x)f(\mathbf{x}) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: f(x)=1(2π)p/2∣Σ∣1/2exp⁡(−12(x−μ)′Σ−1(x−μ))f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right)

Cevap

Çok değişkenli normal dağılımın doğru olasılık yoğunluk fonksiyonu, paydasında (2π)p/2∣Σ∣1/2(2\pi)^{p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2} çarpanını bulunduran ve üstel kısmında Mahalanobis uzaklığı karesini, yani (x−μ)′Σ−1(x−μ)(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu}) ifadesini içeren seçenektir.
Çok değişkenli normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu iki temel kısımdan oluşur: Dağılımın toplam hacmini 1 yapan (2π)p/2∣Σ∣1/2(2\pi)^{p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2} normalleştirme sabiti ve rassal vektörün merkeze uzaklığını kovaryans yapısına göre ağırlıklandıran −12(x−μ)′Σ−1(x−μ)-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu}) üstel karesel formu (Mahalanobis uzaklığı). Doğru seçenek bu yapıyı eksiksiz ve hatasız olarak veren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Çok değişkenli normal dağılımın bileşenlerini belirleme
Dağılım pp boyutlu olduğu için, formülde pp boyutlu ortalama vektörü (μ\boldsymbol{\mu}) ve p×pp \times p boyutlu varyans-kovaryans matrisi (Σ\boldsymbol{\Sigma}) kullanılır.
Dağılımın merkezini ve değişkenler arası ilişki yapısını tanımlamak için bu parametreler şarttır.
2
Normalleştirme sabitini formüle etme
Sabit kısım 1(2π)p/2∣Σ∣1/2\frac{1}{(2\pi)^{p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}} olarak elde edilir.
Tek değişkenli durumdaki karekök içindeki 2πσ22\pi\sigma^2 ifadesi, pp boyutlu uzayda (2π)p(2\pi)^p ve matris determinantı ∣Σ∣|\boldsymbol{\Sigma}| değerlerinin kareköküne dönüşür.
3
Üstel karesel formu (Mahalanobis uzaklığı) oluşturma
Üstel fonksiyonun içine −12(x−μ)′Σ−1(x−μ)-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu}) karesel formu yazılır.
Değişkenlerin ortalamadan uzaklıklarını birbirleri arasındaki kovaryans yapılarına göre standartlaştırmak için matrisin tersi (Σ−1\boldsymbol{\Sigma}^{-1}) kullanılır.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılım Yoğunluk Fonksiyonu Yapısı
Soru 10Soru →

X=[X1X2X3]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} rasgele vektörü, çok değişkenli normal dağılıma X∼N3(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_3(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) sahiptir. Parametreler aşağıdaki gibi verilmiştir:

μ=[42−3],Σ=[90304−13−15] \boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix}

Y=[X1X3]\mathbf{Y} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_3 \end{bmatrix} olarak tanımlanan marjinal vektörün dağılımı ve marjinal normallik kavramı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Y∼N2([4−3],[9335])\mathbf{Y} \sim N_2\left(\begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\right)'dir. Ancak teorik olarak, herhangi iki rastgele değişkenin ayrı ayrı marjinal normal dağılıma sahip olması, ortak dağılımlarının çok değişkenli normal olmasını her zaman garanti etmez.

Cevap

Y\mathbf{Y} vektörünün dağılımı 1. ve 3. satır/sütun elemanlarının doğrudan alınmasıyla elde edilen N2([4−3],[9335])N_2\left(\begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\right)'dir ve marjinal normallik tek başına ortak normalliği garanti etmez.
Çok değişkenli normal dağılıma sahip bir X\mathbf{X} vektörünün herhangi bir alt vektörünün marjinal dağılımı da normaldir. Dağılımın parametreleri, orijinal μ\boldsymbol{\mu} ve Σ\boldsymbol{\Sigma} matrislerinden hedeflenen değişkenlerin satır ve sütunlarının doğrudan alınmasıyla (parçalanmış alt matrisler olarak) bulunur. X1X_1 ve X3X_3 için indeksler 1 ve 3'tür; bu değerler çekildiğinde ortalama vektörü [4,−3]′[4, -3]' ve kovaryans matrisi [9335]\begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} olarak elde edilir. İkinci kısımdaki teorik bilgi de doğrudur: Çok değişkenli normallik marjinal normalliği sağlarken, bunun tersi (marjinallerin normal olmasının ortak normalliği garanti etmesi) geçerli değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Ortalama vektöründen X1 ve X3 için marjinal ortalamaların seçilmesi.
μY=[4−3]\boldsymbol{\mu}_Y = \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix} vektörünün elde edilmesi.
Marjinal dağılımın ortalaması, çok değişkenli ortak ortalama vektörünün sadece ilgili değişkenlere ait elemanlarından oluşur.
2
Kovaryans matrisinden X1 ve X3'e ait varyans ve kovaryans değerlerinin çıkarılması.
1. ve 3. satır ile 1. ve 3. sütunların kesişimi olan ΣY=[9335]\boldsymbol{\Sigma}_Y = \begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} alt matrisinin bulunması.
Marjinal varyans-kovaryans matrisi, ortak varyans-kovaryans matrisinin ilgili satır ve sütunlarının seçilmesiyle doğrudan elde edilir; ek bir dönüşüm veya koşullama yapılmaz.
3
Marjinal ve ortak normallik ilişkisinin teorik olarak değerlendirilmesi.
Marjinal normalliğin, ortak (çok değişkenli) normalliği kesin olarak garanti etmediği kuralının hatırlanması.
Bağımlılık yapısı doğrusal olmayan ancak tek başlarına normal dağılan rassal değişkenlerin ortak dağılımları çok değişkenli normal dağılım formuna uymayabilir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Marjinal Vektörlerin Çıkarımı ve Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →

X\mathbf{X}, 3×13 \times 1 boyutlu, ortalama vektörü μ=0\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0} ve varyans-kovaryans matrisi Σ=4I3\mathbf{\Sigma} = 4\mathbf{I}_3 (burada I3\mathbf{I}_3, birim matristir) olan çok değişkenli normal dağılıma sahip bir rasgele vektördür.

A=[1/40001/40000] \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

ve B\mathbf{B}, 3×33 \times 3 boyutlu simetrik bir matris olmak üzere, Q1=X′AXQ_1 = \mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X} ve Q2=X′BXQ_2 = \mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X} karesel formları tanımlanmaktadır.

Buna göre, Q1Q_1 karesel formunun dağılımı ile Q1Q_1 ve Q2Q_2 karesel formlarının istatistiksel olarak birbirinden bağımsız olması için B\mathbf{B} matrisinin sağlaması gereken koşul, aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22 serbestlik dereceli ki-kare dağılımı; AB=0\mathbf{AB} = \mathbf{0}

Cevap

Karesel formun dağılımı 2 serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır ve bağımsızlık koşulu AB = 0 olmalıdır.
X∼Np(0,Σ)\mathbf{X} \sim N_p(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma}) olduğunda X′AX\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X} karesel formunun ki-kare dağılımına uyması için AΣ\mathbf{A}\mathbf{\Sigma} matrisi idempotent olmalıdır. Verilen A\mathbf{A} ve Σ=4I3\mathbf{\Sigma} = 4\mathbf{I}_3 değerleri ile AΣ=diag(1,1,0)\mathbf{A}\mathbf{\Sigma} = \text{diag}(1, 1, 0) elde edilir ve bu matris idempotenttir. Serbestlik derecesi, idempotent matrisin izine eşittir: iz(AΣ)=1+1+0=2\text{iz}(\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}) = 1+1+0 = 2. Ayrıca, X′AX\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X} ve X′BX\mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X} karesel formlarının bağımsızlığı için Craig Teoremi gereğince AΣB=0\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0} şartı sağlanmalıdır. Σ=4I3\mathbf{\Sigma} = 4\mathbf{I}_3 olduğundan bu koşul doğrudan 4AB=0  ⟹  AB=04\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0} \implies \mathbf{AB} = \mathbf{0} şeklinde sadeleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Q1Q_1 karesel formunun dağılımını belirlemek için AΣ\mathbf{A}\mathbf{\Sigma} çarpım matrisi ve idempotens (eşgüçlülük) özelliği kontrol edilir.
AΣ=A(4I3)=4A\mathbf{A}\mathbf{\Sigma} = \mathbf{A}(4\mathbf{I}_3) = 4\mathbf{A} işlemi sonucunda köşegen elemanları sırasıyla 1, 1, 0 olan köşegen matris elde edilir. Bu matrisin karesi kendisine eşit olduğundan idempotenttir.
Çok değişkenli normal dağılımda karesel formun ki-kare dağılması için AΣ\mathbf{A}\mathbf{\Sigma} matrisinin idempotent olması şarttır.
2
Ki-kare dağılımının serbestlik derecesi (vv) hesaplanır.
v=iz(AΣ)=1+1+0=2v = \text{iz}(\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}) = 1 + 1 + 0 = 2 bulunur. μ=0\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0} olduğu için dağılım merkezi ki-karedir.
İdempotent matrislerde iz değeri, rank değerine ve dolayısıyla ki-kare dağılımının serbestlik derecesine eşittir.
3
Q1Q_1 ve Q2Q_2 karesel formlarının bağımsızlık koşulu formüle edilir.
Bağımsızlık için AΣB=0\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0} olmalıdır. Σ=4I3\mathbf{\Sigma} = 4\mathbf{I}_3 yerine yazıldığında 4AB=04\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0} ve her iki taraf 44'e bölündüğünde AB=0\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0} elde edilir.
Aynı rasgele vektörden üretilen iki karesel formun bağımsız olması, ortadaki varyans-kovaryans matrisi kullanıldığında çarpımlarının sıfır matrisine eşit olmasına bağlıdır.

Anahtar Kavram

Karesel Formların Dağılımı ve Bağımsızlık Teoremi
Soru 12Soru →

X=[X1X2X3]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} rastgele vektörü, çok değişkenli normal dağılıma sahip olup ortalama vektörü ve kovaryans matrisi aşağıda verilmiştir:

μ=[21−1],Σ=[52−1240−102]{\boldsymbol{\mu}} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad {\boldsymbol{\Sigma}} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}

Buna göre, X2=x2X_2 = x_2 ve X3=x3X_3 = x_3 değerleri bilindiğinde, X1X_1 değişkeninin koşullu varyansı (Var(X1∣X2=x2,X3=x3)\text{Var}(X_1 | X_2 = x_2, X_3 = x_3)) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3.5

Cevap

Doğru değer 3.5'tir.
Çok değişkenli normal dağılımda, X1X_1 alt vektörünün X2X_2 alt vektörü verildiğindeki koşullu kovaryans matrisi Σ1∣2=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{1|2} = \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21} formülü ile hesaplanır. Verilen problemde X1X_1 tek boyutlu, X2X_2 ve X3X_3 ise iki boyutlu bir alt vektör oluşturmaktadır. İlgili matris bölümleri yerine konulup gerekli matris çarpımları ve çıkarma işlemi yapıldığında sonuç 5−1.5=3.55 - 1.5 = 3.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kovaryans matrisini Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11}, Σ12\boldsymbol{\Sigma}_{12}, Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{21} ve Σ22\boldsymbol{\Sigma}_{22} alt matrislerine parçalamak.
Σ11=[5]\boldsymbol{\Sigma}_{11} = [5], Σ12=[2−1]\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix}, Σ21=[2−1]\boldsymbol{\Sigma}_{21} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}, Σ22=[4002]\boldsymbol{\Sigma}_{22} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} olarak belirlenir.
Koşullu varyans formülünü uygulayabilmek için ilgilenilen değişken (X1X_1) ile bilinen değişkenlerin (X2,X3X_2, X_3) yapısal olarak ayrılması gerekir.
2
Bilinen değişkenlerin oluşturduğu Σ22\boldsymbol{\Sigma}_{22} matrisinin tersini (Σ22−1\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}) almak.
Σ22\boldsymbol{\Sigma}_{22} köşegen bir matris olduğu için tersi: Σ22−1=[1/4001/2]\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} = \begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} olur.
Koşullu varyans hesabında diğer değişkenlerin bilgisinin getirdiği düzeltme faktörünü bulmak için bu ters matrise ihtiyaç vardır.
3
Σ12Σ22−1Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21} matris çarpımını gerçekleştirmek.
[2−1][1/4001/2][2−1]=[1/2−1/2][2−1]=1+0.5=1.5\begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = 1 + 0.5 = 1.5 bulunur.
Bu değer, bilinen değişkenlerin X1X_1'in varyansında ne kadarlık bir belirsizlik azalmasına yol açtığını (açıklanan kısmı) gösterir.
4
Koşullu varyans formülünü (Σ1∣2=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{1|2} = \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21}) tamamlamak.
5−1.5=3.55 - 1.5 = 3.5 elde edilir.
Marjinal varyanstan (55), diğer değişkenlerle olan ilişkiden kaynaklanan düzeltme miktarının (1.51.5) çıkarılmasıyla koşullu varyans bulunur.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda parçalanmış matrisler kullanılarak koşullu varyans-kovaryans matrisinin hesaplanması
Soru 13Soru →

X=[X1X2X3]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} rastgele vektörü, singüler olmayan (non-degenerate) üç değişkenli normal dağılıma sahiptir. Bu vektörün bileşenlerinin her birinin varyansı 11'e eşit olup, herhangi iki bileşen arasındaki korelasyon katsayısı ρ\rho'dur.

Buna göre, ortak dağılımın geçerli olabilmesi (kovaryans matrisinin uygunluğu) için ρ\rho parametresinin tanım aralığı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −12<ρ<1-\frac{1}{2} < \rho < 1

Cevap

Singüler olmayan çok değişkenli normal dağılım için kovaryans matrisi pozitif tanımlı olmalıdır. Bu şartı sağlayan aralık −1/2<ρ<1-1/2 < \rho < 1 aralığıdır.
Singüler olmayan üç değişkenli normal dağılım için varyans-kovaryans matrisinin pozitif tanımlı (positive definite) olması teorik bir zorunluluktur. Matrisin formu Σ=(1−ρ)I3+ρ11T\boldsymbol{\Sigma} = (1-\rho)\mathbf{I}_3 + \rho\mathbf{1}\mathbf{1}^T şeklindedir ve bu tür matrislerin özdeğerleri λ1=1+(3−1)ρ=1+2ρ\lambda_1 = 1 + (3-1)\rho = 1 + 2\rho ve λ2=λ3=1−ρ\lambda_2 = \lambda_3 = 1 - \rho formülleriyle pratik olarak bulunabilir. Pozitif tanımlılık için tüm özdeğerler kesinlikle pozitif olmalıdır: 1+2ρ>0  ⟹  ρ>−1/21 + 2\rho > 0 \implies \rho > -1/2 ve 1−ρ>0  ⟹  ρ<11 - \rho > 0 \implies \rho < 1. Bu iki koşulun kesişiminden doğru aralığın −1/2<ρ<1-1/2 < \rho < 1 olduğu ispatlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kovaryans matrisinin oluşturulması
Varyanslar 11 ve ikili korelasyonlar ρ\rho olduğu için Σ=[1ρρρ1ρρρ1]\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 1 & \rho & \rho \\ \rho & 1 & \rho \\ \rho & \rho & 1 \end{bmatrix} matrisi yazılır.
Standartlaştırılmış rastgele değişkenlerde kovaryans matrisi ile korelasyon matrisi birbirine eşittir.
2
Geçerlilik şartının belirlenmesi
Dağılımın singüler olmaması için Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisi pozitif tanımlı (positive definite) olmalı, yani determinantı ve tüm öncü asal minörleri sıfırdan büyük olmalıdır.
Geçerli bir çok değişkenli dağılımın temel teorik varsayımı matrisin kesin pozitif tanımlı olmasıdır.
3
İkinci mertebeden asal minörün incelenmesi
∣Σ2∣=1−ρ2>0|\boldsymbol{\Sigma}_2| = 1 - \rho^2 > 0 eşitsizliğinden −1<ρ<1-1 < \rho < 1 şartı elde edilir.
Herhangi iki değişken arasındaki marjinal ilişkinin matematiksel sınırını ifade eder.
4
Üçüncü mertebeden asal minörün (matris determinantı) incelenmesi
∣Σ3∣=det⁡(Σ)=1−3ρ2+2ρ3=(2ρ+1)(ρ−1)2>0|\boldsymbol{\Sigma}_3| = \det(\boldsymbol{\Sigma}) = 1 - 3\rho^2 + 2\rho^3 = (2\rho + 1)(\rho - 1)^2 > 0 eşitsizliği kurulur.
Üç değişkenin aynı anda ortak dağılıma sahip olabilmesi için determinantın sıfırdan büyük olması gerekir.
5
Çözüm aralığının bulunması
ρ≠1\rho \neq 1 koşulu altında (ρ−1)2(\rho - 1)^2 daima pozitiftir. Eşitsizliğin sağlanması için 2ρ+1>0  ⟹  ρ>−1/22\rho + 1 > 0 \implies \rho > -1/2 olmalıdır. Diğer şartla kesişimi alındığında −1/2<ρ<1-1/2 < \rho < 1 bulunur.
Matrisin tüm boyutlarda pozitif tanımlı kalmasını sağlayan yegane çözüm kümesidir.

Anahtar Kavram

Kovaryans matrisinin pozitif tanımlılığı ve Sylvester Kriteri
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 14Soru →

X=[X1X2]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \end{bmatrix} iki değişkenli normal dağılıma sahip bir rasgele vektör olmak üzere, X\mathbf{X}'in moment çıkaran fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

MX(t1,t2)=exp⁡(2t1−3t2+2t12−2t1t2+4t22)M_{\mathbf{X}}(t_1, t_2) = \exp(2t_1 - 3t_2 + 2t_1^2 - 2t_1t_2 + 4t_2^2)

Buna göre, Y=X1+2X2Y = X_1 + 2X_2 rasgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu MY(t)M_Y(t) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: exp⁡(−4t+14t2)\exp(-4t + 14t^2)

Cevap

exp⁡(−4t+14t2)\exp(-4t + 14t^2) ifadesi doğru fonksiyondur.
Çok değişkenli moment çıkaran fonksiyondaki katsayılar eşleştirildiğinde ortalamalar μ1=2,μ2=−3\mu_1 = 2, \mu_2 = -3 ve varyans-kovaryans elemanları σ11=4,σ22=8,σ12=−2\sigma_{11} = 4, \sigma_{22} = 8, \sigma_{12} = -2 olarak bulunur. Y=X1+2X2Y = X_1 + 2X_2 doğrusal kombinasyonu için ortalama μY=2+2(−3)=−4\mu_Y = 2 + 2(-3) = -4, varyans ise V(Y)=4+4(8)+4(−2)=28V(Y) = 4 + 4(8) + 4(-2) = 28 olur. Tek değişkenli normal dağılım MGF formülüne (exp⁡(μt+0.5σ2t2)\exp(\mu t + 0.5\sigma^2 t^2)) bu değerler yazıldığında doğru sonuç exp⁡(−4t+14t2)\exp(-4t + 14t^2) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çok değişkenli moment çıkaran fonksiyonundan ortalama vektörü ve kovaryans matrisi parametrelerinin elde edilmesi
μ1=2,μ2=−3\mu_1 = 2, \mu_2 = -3 ve σ11=4,σ22=8,σ12=−2\sigma_{11} = 4, \sigma_{22} = 8, \sigma_{12} = -2 bulunur.
MX(t)=exp⁡(t′μ+12t′Σt)M_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \exp(\mathbf{t}'\boldsymbol{\mu} + \frac{1}{2}\mathbf{t}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{t}) standart formülü ile katsayılar eşleştirilir.
2
Doğrusal kombinasyonun (Y=X1+2X2Y = X_1 + 2X_2) beklenen değerinin hesaplanması
μY=E(X1)+2E(X2)=2+2(−3)=−4\mu_Y = E(X_1) + 2E(X_2) = 2 + 2(-3) = -4 elde edilir.
Beklenen değer operatörünün doğrusallık özelliği kullanılır.
3
Doğrusal kombinasyonun varyansının hesaplanması
V(Y)=V(X1)+4V(X2)+4Cov(X1,X2)=4+4(8)+4(−2)=28V(Y) = V(X_1) + 4V(X_2) + 4Cov(X_1, X_2) = 4 + 4(8) + 4(-2) = 28 olarak hesaplanır.
V(a′X)=a′ΣaV(\mathbf{a}'\mathbf{X}) = \mathbf{a}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{a} karesel formülü veya varyansın doğrusal kombinasyon özellikleri gereği.
4
Elde edilen parametrelerin tek değişkenli moment çıkaran fonksiyon formülünde yerine konması
MY(t)=exp⁡(−4t+282t2)=exp⁡(−4t+14t2)M_Y(t) = \exp(-4t + \frac{28}{2}t^2) = \exp(-4t + 14t^2) bulunur.
Normal dağılan YY değişkeni için MY(t)=exp⁡(μYt+12σY2t2)M_Y(t) = \exp(\mu_Y t + \frac{1}{2}\sigma_Y^2 t^2) formülü geçerlidir.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda moment çıkaran fonksiyon ve doğrusal dönüşümler
Soru 15Soru →

Üç bileşenli X=(X1,X2,X3)T\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)^T rastgele vektörünün, μ\boldsymbol{\mu} ortalama vektörüne ve Σ\mathbf{\Sigma} kovaryans matrisine sahip bir çok değişkenli normal dağılıma uyduğu bilinmektedir. Dağılıma ait kovaryans matrisi aşağıda, X(1)=[X1]\mathbf{X}^{(1)} = [X_1] ve X(2)=[X2X3]\mathbf{X}^{(2)} = \begin{bmatrix} X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} olacak şekilde parçalanmış formatta verilmiştir:

Σ=[Σ11Σ12Σ21Σ22]=[1042431211] \mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}

Buna göre, X2=x2X_2 = x_2 ve X3=x3X_3 = x_3 koşulu altında, X1X_1 değişkeninin koşullu varyansı (Var(X1∣X2,X3)Var(X_1 | X_2, X_3)) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Koşullu varyans 4 olarak hesaplanır.
Çok değişkenli normal dağılımda koşullu varyansın hesaplanması için Var(X1∣X2,X3)=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21Var(X_1 | X_2, X_3) = \Sigma_{11} - \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21} formülü kullanılır. Parçalanmış matrislere göre Σ11=10\Sigma_{11} = 10, Σ12=[42]\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \end{bmatrix}, Σ21=[42]\Sigma_{21} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} ve Σ22=[3111]\Sigma_{22} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} değerleri elde edilir. Σ22\Sigma_{22} matrisinin tersi [0.5−0.5−0.51.5]\begin{bmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 1.5 \end{bmatrix} olarak bulunur. Σ12Σ22−1Σ21\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21} çarpımı gerçekleştirildiğinde sonucun 6 olduğu görülür. Ana formülde yerine konulduğunda 10−6=410 - 6 = 4 değeri doğru koşullu varyanstır.

Adım Adım Çözüm

1
Kovaryans matrisini koşula uygun olarak parçalara ayırma
Σ11=10\Sigma_{11} = 10, Σ12=[42]\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \end{bmatrix}, Σ21=[42]\Sigma_{21} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} ve Σ22=[3111]\Sigma_{22} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} olarak belirlenir.
Çok değişkenli normal dağılımda koşullu varyans formülünün bileşenlerini tanımlamak için.
2
Koşul matrisinin (Σ22\Sigma_{22}) tersini alma
Determinant = 3(1)−1(1)=23(1) - 1(1) = 2. Σ22−1=12[1−1−13]=[0.5−0.5−0.51.5]\Sigma_{22}^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 1.5 \end{bmatrix} bulunur.
Varyans formülündeki Σ22−1\Sigma_{22}^{-1} bileşenini hesaplamak için.
3
Σ12Σ22−1Σ21\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21} çarpımını gerçekleştirme
İlk çarpım: [42][0.5−0.5−0.51.5]=[11]\begin{bmatrix} 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}. İkinci çarpım: [11][42]=4+2=6\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} = 4 + 2 = 6 elde edilir.
Koşullu değişkenlerin X1X_1'in varyansında ne kadarlık bir açıklama (azalış) sağladığını bulmak için.
4
Koşullu varyansı hesaplama
Var(X1∣X2,X3)=Σ11−6=10−6=4Var(X_1 | X_2, X_3) = \Sigma_{11} - 6 = 10 - 6 = 4 sonucu bulunur.
Ana formülü (Var(X1∣X2)=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21Var(X_1 | \mathbf{X}_2) = \Sigma_{11} - \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}) uygulayarak kalan açıklanamayan varyansı bulmak için.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda parçalanmış matrisler yardımıyla koşullu varyans-kovaryans matrisinin hesaplanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →

Çok değişkenli istatistiksel analizler yürüten bir araştırmacı, pp boyutlu ve μ=0\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0} ortalama vektörüne, Σ\boldsymbol{\Sigma} pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrisine sahip X\mathbf{X} rastgele vektörünü incelemektedir.

Araştırmacı, verinin yapısını analiz etmek amacıyla A\mathbf{A} ve B\mathbf{B} simetrik matrislerini kullanarak Q1=X′AXQ_1 = \mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X} ve Q2=X′BXQ_2 = \mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X} karesel formlarını oluşturmuştur.

Çalışmanın kuramsal altyapısı gereği, Q1Q_1 istatistiğinin kk serbestlik dereceli ki-kare dağılımına (χk2\chi^2_k) uyması ve aynı zamanda Q2Q_2 istatistiğinden istatistiksel olarak bağımsız olması hedeflenmektedir.

Buna göre, araştırmacının kurguladığı modelde A\mathbf{A} ve B\mathbf{B} matrislerinin aşağıdaki eşitlik sistemlerinden hangisini sağlaması istatistiksel olarak zorunludur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AΣA=A\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}, iz(AΣ)=k\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k ve AΣB=0\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}

Cevap

Doğru eşitlik sistemi; karesel formun ki-kare dağılımı için AΣA=A\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A} ile iz(AΣ)=k\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k şartlarını ve bağımsızlık için AΣB=0\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0} şartını birlikte içeren sistemdir.
Verilen modelde X′AX\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X} karesel formunun χk2\chi^2_k dağılımına sahip olması için AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} matrisinin idempotent (AΣA=A\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}) ve serbestlik derecesinin matrisin izi üzerinden iz(AΣ)=k\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k olması zorunludur. Ayrıca X′AX\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X} ve X′BX\mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X} karesel formlarının istatistiksel bağımsızlığı için Craig Teoremi gereği aralarındaki ilişkinin AΣB=0\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0} şartını sağlaması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1
Karesel formun ki-kare dağılımına uyma şartını belirleme
X∼Np(0,Σ)\mathbf{X} \sim N_p(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma}) iken X′AX∼χ2\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X} \sim \chi^2 olması için AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} matrisi idempotent olmalıdır. Bu, matematiksel olarak AΣAΣ=AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} demektir. Σ\boldsymbol{\Sigma} pozitif tanımlı olduğundan eşitlik AΣA=A\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A} formuna dönüşür.
Genel normal dağılımda karesel form matrisi ile varyans-kovaryans matrisinin çarpımı idempotent bir yapı sergilemelidir.
2
Ki-kare dağılımının serbestlik derecesini tespit etme
İlgili ki-kare dağılımının serbestlik derecesi, idempotent olan AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} matrisinin rankına eşittir. İdempotent matrislerde rank, matrisin izine (trace) eşit olduğundan k=iz(AΣ)k = \text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) olur.
İdempotent matrislerin en önemli özelliklerinden biri rank ve iz değerlerinin birbirine eşit olmasıdır.
3
İki karesel formun istatistiksel bağımsızlık şartını kurma
Craig Teoremi uyarınca, X′AX\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X} ve X′BX\mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X} formlarının birbirinden istatistiksel olarak bağımsız olabilmesi için AΣB=0\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0} eşitliğinin sağlanması gerekir.
Normal dağılım altında karesel formların bağımsızlığı, matrisler arasına giren kovaryans yapısının çarpım sonucunu sıfırlamasına dayanır.

Anahtar Kavram

Craig Teoremi ve Karesel Formların Dağılımı
Soru 17Soru →

Üç değişkenli X=(X1,X2,X3)T\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)^T rasgele vektörü, ortalama vektörü μ=(μ1,μ2,μ3)T\boldsymbol{\mu} = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)^T ve varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma} olan çok değişkenli normal dağılıma sahiptir.

Σ=[830350004] \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 8 & 3 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}

Bu dağılımla ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: X3X_3 değişkeni, (X1,X2)T(X_1, X_2)^T rasgele vektöründen bağımsızdır.

Cevap

Çok değişkenli normal dağılıma sahip X\mathbf{X} vektörünün kovaryans matrisinde X3X_3 ile diğer değişkenler arasındaki kovaryans değerleri sıfır olduğu için, X3X_3 değişkeni (X1,X2)T(X_1, X_2)^T rasgele vektöründen bağımsızdır.
Çok değişkenli normal dağılımda, eğer rastgele bir X\mathbf{X} vektörü alt vektörlere ayrılıyorsa, bu alt vektörlerin bağımsız olması için aralarındaki kovaryans matrisinin sıfır matrisi olması gerekir ve yeterlidir. Verilen Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisinde, X1X_1 ve X3X_3 ile X2X_2 ve X3X_3 arasındaki kovaryans değerleri sıfırdır (σ13=0,σ23=0\sigma_{13}=0, \sigma_{23}=0). Bu nedenle, X3X_3 değişkeni tek başına (X1,X2)T(X_1, X_2)^T rastgele vektöründen tamamen bağımsızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Varyans-kovaryans matrisini (Σ\boldsymbol{\Sigma}) alt matrislere parçalayarak (partitioning) değişken grupları arasındaki ilişkileri incele.
Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisi, Σ11=[8335]\boldsymbol{\Sigma}_{11} = \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}, Σ22=[4]\boldsymbol{\Sigma}_{22} = \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix} ve aralarındaki ilişkiyi gösteren Σ12=Σ21T=[00]\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \boldsymbol{\Sigma}_{21}^T = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} şeklinde alt matrislere ayrılır.
Çok değişkenli normal dağılımda alt vektörlerin bağımsızlığı, aralarındaki kovaryans (çapraz) matrisinin sıfır matrisi olup olmadığına bakılarak belirlenir.
2
Parçalanmış alt matrislerden Σ12\boldsymbol{\Sigma}_{12} ve Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{21} bileşenlerinin değerlerini kontrol et.
σ13=0\sigma_{13} = 0 ve σ23=0\sigma_{23} = 0 olduğu için çapraz kovaryans matrisi tamamen sıfırlardan oluşmaktadır (Σ12=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}).
Sıfır kovaryans matrisi, bu iki grubun doğrusal olarak ilişkisiz olduğunu gösterir.
3
Çok değişkenli normal dağılım teorisi kurallarını uygula.
Çok değişkenli normal dağılıma sahip vektörlerde sıfır kovaryans bağımsızlığı doğrudan garanti ettiğinden, X3X_3 değişkeninin (X1,X2)T(X_1, X_2)^T vektöründen istatistiksel olarak bağımsız olduğu sonucuna varılır.
Normal dağılımın temel özelliklerinden biri, ilişkisizliğin (sıfır kovaryans) bağımsızlığa denk olmasıdır.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda, rasgele vektörlerin alt grupları arasındaki kovaryans matrisi sıfır ise bu alt gruplar istatistiksel olarak bağımsızdır.
Soru 18Soru →

X=[X1,X2,X3]′\mathbf{X} = [X_1, X_2, X_3]' rasgele vektörünün moment çıkaran fonksiyonu,

MX(t)=exp⁡(t1−2t3+32t12+2t22+52t32+t1t2−t1t3+2t2t3)M_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \exp \left( t_1 - 2t_3 + \frac{3}{2} t_1^2 + 2 t_2^2 + \frac{5}{2} t_3^2 + t_1 t_2 - t_1 t_3 + 2t_2 t_3 \right)

olarak verilmektedir. (Burada t=[t1,t2,t3]′\mathbf{t} = [t_1, t_2, t_3]''dir.)

Buna göre, Y=X1+X2+X3Y = X_1 + X_2 + X_3 rasgele değişkeninin varyansı (Var(Y)Var(Y)) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
Çok değişkenli normal dağılımda moment çıkaran fonksiyonun üssündeki karesel kısım 12t′Σt\frac{1}{2}\mathbf{t}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{t} şeklindedir. Katsayılar eşleştirildiğinde varyanslar σ11=3\sigma_{11}=3, σ22=4\sigma_{22}=4, σ33=5\sigma_{33}=5 olarak, kovaryanslar ise σ12=1\sigma_{12}=1, σ13=−1\sigma_{13}=-1, σ23=2\sigma_{23}=2 olarak bulunur. Bir toplamın varyansı, ilgili kovaryans matrisindeki tüm elemanların toplamına denk gelir. Buna göre 12+2(1−1+2)=1612 + 2(1 - 1 + 2) = 16 değeri doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Çok değişkenli normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonunun (MGF) genel formülünü hatırlamak.
MX(t)=exp⁡(t′μ+12t′Σt)M_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \exp\left(\mathbf{t}'\boldsymbol{\mu} + \frac{1}{2}\mathbf{t}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{t}\right) olduğu bilinmelidir.
Verilen üstel fonksiyon ile teorik yapıyı eşleştirerek Σ\mathbf{\Sigma} (kovaryans) matrisinin elemanlarını elde etmek için.
2
Karesel formun (12t′Σt\frac{1}{2}\mathbf{t}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{t}) açılımını kullanarak varyans ve kovaryansları belirlemek.
Varyanslar: 12σ11=32  ⟹  σ11=3\frac{1}{2}\sigma_{11} = \frac{3}{2} \implies \sigma_{11} = 3, 12σ22=2  ⟹  σ22=4\frac{1}{2}\sigma_{22} = 2 \implies \sigma_{22} = 4, 12σ33=52  ⟹  σ33=5\frac{1}{2}\sigma_{33} = \frac{5}{2} \implies \sigma_{33} = 5.
Kovaryanslar: t1t2t_1 t_2 katsayısı σ12=1\sigma_{12} = 1, t1t3t_1 t_3 katsayısı σ13=−1\sigma_{13} = -1, t2t3t_2 t_3 katsayısı σ23=2\sigma_{23} = 2.
MGF katsayıları eşleştirmesinde köşegen elemanlarda 1/2 çarpanı bulunurken, çapraz elemanların katsayılarının doğrudan kovaryansa eşit olması kuralıdır.
3
Y=X1+X2+X3Y = X_1 + X_2 + X_3 toplamının varyansını hesaplamak.
Var(Y)=∑i=13σii+2∑i<jσij=(3+4+5)+2(1−1+2)=12+2(2)=16Var(Y) = \sum_{i=1}^{3} \sigma_{ii} + 2 \sum_{i < j} \sigma_{ij} = (3 + 4 + 5) + 2(1 - 1 + 2) = 12 + 2(2) = 16
Rasgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun varyansı, değişkenlerin kendi varyansları ile aralarındaki kovaryansların ikişer katının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu (MGF)
Soru 19Soru →

Bir finansal analizde, üç farklı yatırım aracının aylık getirileri Y1,Y2Y_1, Y_2 ve Y3Y_3 değişkenleri ile modellenmiştir. Bu değişkenlerden oluşan Y\mathbf{Y} rastgele vektörünün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu ve varyans-kovaryans matrisinin Σ\mathbf{\Sigma} olarak verildiği bilinmektedir:

Σ=[410121013] \mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}

Analist, Y3Y_3 değişkeninin alacağı değer bilindiğinde, ilk iki yatırım aracının getirilerinden oluşan vektörün koşullu varyans-kovaryans matrisini bulmak istemektedir.

Buna göre, elde edilecek koşullu varyans-kovaryans matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [41153] \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & \frac{5}{3} \end{bmatrix}

Cevap

Koşullu varyans-kovaryans matrisi, hesaplamalar sonucunda sağ alt köşesindeki elemanı 5/3 olan 2x2 boyutundaki matristir.
Doğru seçenek, çok değişkenli normal dağılımda koşullu varyans-kovaryans matrisinin Σ11⋅2=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\mathbf{\Sigma}_{11 \cdot 2} = \mathbf{\Sigma}_{11} - \mathbf{\Sigma}_{12}\mathbf{\Sigma}_{22}^{-1}\mathbf{\Sigma}_{21} formülü ile elde edilmiş nihai halini göstermektedir. Gerekli matris işlemleri doğru uygulandığında sağ alt elemanın 2 - 1/3 = 5/3 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Matrisi alt parçalara (partition) ayırma işlemi yapılır.
Σ11=[4112]\mathbf{\Sigma}_{11} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, Σ12=[01]\mathbf{\Sigma}_{12} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, Σ21=[01]\mathbf{\Sigma}_{21} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} ve Σ22=[3]\mathbf{\Sigma}_{22} = [3] olarak belirlenir.
Çok değişkenli normal dağılımda koşullu matris hesabı için varyans-kovaryans matrisinin koşul değişkenlerine göre bölünmesi gereklidir.
2
Koşul değişkeninin varyansını temsil eden matrisin tersi alınır.
Σ22−1=[1/3]\mathbf{\Sigma}_{22}^{-1} = [1/3] bulunur.
Düzeltme terimi hesaplanırken koşula alınan vektörün/değişkenin etkisini standardize etmek için varyansının tersine ihtiyaç vardır.
3
Düzeltme terimi olan matris çarpımı (Σ12Σ22−1Σ21\mathbf{\Sigma}_{12}\mathbf{\Sigma}_{22}^{-1}\mathbf{\Sigma}_{21}) hesaplanır.
[01][1/3][01]=[01/3][01]=[0001/3]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} [1/3] \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}
Koşullanan değişkenlerin marjinal varyans matrisinden, koşul değişkeninin taşıdığı bilginin etkisini çıkarmak için bu çarpım elde edilir.
4
Marjinal varyans-kovaryans matrisinden, hesaplanan düzeltme terimi çıkarılarak sonuca ulaşılır.
Σ11⋅2=[4112]−[0001/3]=[4115/3]\mathbf{\Sigma}_{11 \cdot 2} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5/3 \end{bmatrix}
Koşullu varyans-kovaryans formülü Σ11⋅2=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\mathbf{\Sigma}_{11 \cdot 2} = \mathbf{\Sigma}_{11} - \mathbf{\Sigma}_{12}\mathbf{\Sigma}_{22}^{-1}\mathbf{\Sigma}_{21} şeklinde uygulandığında nihai matris bulunur.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda parçalanmış matrisler kullanılarak koşullu varyans-kovaryans matrisinin hesaplanması.
Soru 20Soru →

Üç değişkenli normal dağılıma sahip V=(V1,V2,V3)′\mathbf{V} = (V_1, V_2, V_3)' rasgele vektörünün moment çıkaran fonksiyonu,

MV(t1,t2,t3)=exp⁡(4t1+2t2−t3+2t12+t22+t32+2t1t2−t2t3)M_{\mathbf{V}}(t_1, t_2, t_3) = \exp\left( 4t_1 + 2t_2 - t_3 + 2t_1^2 + t_2^2 + t_3^2 + 2t_1 t_2 - t_2 t_3 \right)

olarak verilmiştir.

Buna göre, Z=V1−2V2+V3Z = V_1 - 2V_2 + V_3 rasgele değişkeninin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: N(−1,10)N(-1, 10)

Cevap

ZZ rasgele değişkeni −1-1 ortalamalı ve 1010 varyanslı normal dağılıma sahiptir.
Çok değişkenli normal dağılıma sahip V\mathbf{V} vektörünün doğrusal kombinasyonu olan Z=a1V1+a2V2+a3V3Z = a_1V_1 + a_2V_2 + a_3V_3 değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu MZ(s)=MV(a1s,a2s,a3s)M_Z(s) = M_{\mathbf{V}}(a_1s, a_2s, a_3s) formülüyle elde edilir. İfadeler yerine yazılıp sadeleştirildiğinde MZ(s)=exp⁡(−s+5s2)M_Z(s) = \exp(-s + 5s^2) bulunur. Bu ifade tek değişkenli normal dağılımın MX(t)=exp⁡(μt+σ2t2/2)M_X(t) = \exp(\mu t + \sigma^2 t^2 / 2) yapısı ile karşılaştırıldığında μ=−1\mu = -1 ve σ2/2=5  ⟹  σ2=10\sigma^2/2 = 5 \implies \sigma^2 = 10 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Z=V1−2V2+V3Z = V_1 - 2V_2 + V_3 doğrusal kombinasyonunun moment çıkaran fonksiyonunu bulmak için MZ(s)=MV(s,−2s,s)M_Z(s) = M_{\mathbf{V}}(s, -2s, s) eşitliğini kullanmak.
MZ(s)=exp⁡(4(s)+2(−2s)−(s)+2(s)2+(−2s)2+(s)2+2(s)(−2s)−(−2s)(s))M_Z(s) = \exp\left(4(s) + 2(-2s) - (s) + 2(s)^2 + (-2s)^2 + (s)^2 + 2(s)(-2s) - (-2s)(s)\right)
Çok değişkenli moment çıkaran fonksiyonda her tit_i parametresi yerine, ilgili değişkenin doğrusal kombinasyondaki katsayısı ile ss'nin çarpımı yazılır.
2
Elde edilen ifadedeki üstel fonksiyonun içini sadeleştirmek.
MZ(s)=exp⁡(4s−4s−s+2s2+4s2+s2−4s2+2s2)=exp⁡(−s+5s2)M_Z(s) = \exp(4s - 4s - s + 2s^2 + 4s^2 + s^2 - 4s^2 + 2s^2) = \exp(-s + 5s^2)
Sadeleştirilmiş form, rasgele değişkenin dağılım parametrelerini doğrudan bulabilmemizi sağlar.
3
Sadeleştirilen MZ(s)M_Z(s) fonksiyonunu, tek değişkenli normal dağılımın standart moment çıkaran fonksiyonu olan exp⁡(μs+12σ2s2)\exp(\mu s + \frac{1}{2}\sigma^2 s^2) ile eşleştirmek.
μ=−1\mu = -1 ve 12σ2=5  ⟹  σ2=10\frac{1}{2}\sigma^2 = 5 \implies \sigma^2 = 10
Moment çıkaran fonksiyonların benzersizliği teoremi gereğince, ZZ rasgele değişkeni N(−1,10)N(-1, 10) dağılımına sahiptir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu ve Doğrusal Kombinasyonların Dağılımı

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, üstel fonksiyonun içindeki katsayılar t′μ+12t′Σt\mathbf{t}'\boldsymbol{\mu} + \frac{1}{2} \mathbf{t}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{t} eşitliği yardımıyla ayrılarak μ=[4,2,−1]′\boldsymbol{\mu} = [4, 2, -1]' vektörü ve Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisi (örneğin σ11/2=2  ⟹  σ11=4\sigma_{11}/2 = 2 \implies \sigma_{11} = 4) çıkarılabilir. Sonrasında Var(Z)=a′Σa\text{Var}(Z) = \mathbf{a}'\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{a} formülü kullanılarak da varyans 1010 olarak doğrulanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Sayfa 1 / 6Sonraki
Çok Değişkenli Normal Dağılım Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik | Examkin