Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇok Değişkenli Normal Dağılımda Bağımsızlık

İstatistiksel bir çalışmada, pp-boyutlu X1\mathbf{X}_1, qq-boyutlu X2\mathbf{X}_2 ve rr-boyutlu X3\mathbf{X}_3 rasgele vektörleri incelenmektedir. Bu vektörlere ait varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma}, parçalanmış blok matrisler Σij=Cov(Xi,Xj)\boldsymbol{\Sigma}_{ij} = Cov(\mathbf{X}_i, \mathbf{X}_j) (i,j∈{1,2,3}i,j \in \{1,2,3\}) şeklinde gösterilmektedir ve Σ33\boldsymbol{\Sigma}_{33} matrisinin pozitif tanımlı olduğu bilinmektedir.

Bir araştırmacı, mevcut vektörler üzerinden doğrusal dönüşümler uygulayarak aşağıdaki iki yeni vektörü elde etmiştir:

Y1=X1−Σ13Σ33−1X3\mathbf{Y}_1 = \mathbf{X}_1 - \boldsymbol{\Sigma}_{13}\boldsymbol{\Sigma}_{33}^{-1}\mathbf{X}_3
Y2=X2\mathbf{Y}_2 = \mathbf{X}_2

Buna göre, Y1\mathbf{Y}_1 ve Y2\mathbf{Y}_2 vektörlerinin istatistiksel olarak tam bağımsız olabilmesi için sağlanması gereken gerekli ve yeterli koşullar aşağıdakilerden hangisinde doğru ve eksiksiz olarak verilmiştir?

  1. X=(X1T,X2T,X3T)T\mathbf{X} = (\mathbf{X}_1^T, \mathbf{X}_2^T, \mathbf{X}_3^T)^T vektörünün ortak çok değişkenli normal dağılıma sahip olması ve Σ12=Σ13Σ33−1Σ32\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \boldsymbol{\Sigma}_{13}\boldsymbol{\Sigma}_{33}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{32} eşitliğinin sağlanması.Cevap
  2. B
    Y1\mathbf{Y}_1 ve Y2\mathbf{Y}_2 vektörlerinin ayrı ayrı (marjinal olarak) çok değişkenli normal dağılıma uyması ve aralarındaki çapraz kovaryansın Σ12=Σ13Σ33−1Σ32\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \boldsymbol{\Sigma}_{13}\boldsymbol{\Sigma}_{33}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{32} eşitliğini sağlaması.
  3. C
    Ortak çok değişkenli normal dağılım varsayımı altında, parçalanmış blok matrislerin çarpımı sonucunda Σ12=Σ11Σ33−1Σ22\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \boldsymbol{\Sigma}_{11}\boldsymbol{\Sigma}_{33}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{22} eşitliğinin sağlanması.
  4. D
    Ortak çok değişkenli normal dağılım varsayımı altında, matris işlemlerinde yer değiştirme uygulanarak Σ12=Σ33−1Σ13Σ32\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \boldsymbol{\Sigma}_{33}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{13}\boldsymbol{\Sigma}_{32} eşitliğinin sağlanması.
  5. E
    X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 vektörlerinin ayrı ayrı çok değişkenli normal dağılması ve çapraz kovaryans matrisinin izinin sıfır (tr(Σ12)=0tr(\boldsymbol{\Sigma}_{12}) = 0) olması.

Cevap

X\mathbf{X} bileşik vektörünün ortak çok değişkenli normal dağılıma sahip olması koşuluyla birlikte Σ12=Σ13Σ33−1Σ32\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \boldsymbol{\Sigma}_{13}\boldsymbol{\Sigma}_{33}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{32} eşitliğini ifade eden seçenektir.
Çok değişkenli analizde, iki rasgele vektörün tam bağımsız olabilmesi için aralarındaki kovaryansın sıfır matrisi olması tek başına yeterli değildir; vektörlerin ortak (joint) çok değişkenli normal dağılıma sahip olmaları teorik bir zorunluluktur. Soruda verilen Y1\mathbf{Y}_1 ve Y2\mathbf{Y}_2 vektörleri arasındaki çapraz kovaryans hesaplandığında: Cov(Y1,Y2)=Σ12−Σ13Σ33−1Σ32Cov(\mathbf{Y}_1, \mathbf{Y}_2) = \boldsymbol{\Sigma}_{12} - \boldsymbol{\Sigma}_{13}\boldsymbol{\Sigma}_{33}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{32} elde edilir. Bağımsızlık için bu ifadenin 0\mathbf{0} matrisine eşit olması, yani Σ12=Σ13Σ33−1Σ32\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \boldsymbol{\Sigma}_{13}\boldsymbol{\Sigma}_{33}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{32} şartının sağlanması gerekir. Bu eşitlik ancak X\mathbf{X} bileşik vektörünün tamamı ortak normal dağıldığında istatistiksel bağımsızlığı ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1
Y1\mathbf{Y}_1 ve Y2\mathbf{Y}_2 vektörleri arasındaki çapraz kovaryans matrisinin (Cov(Y1,Y2)Cov(\mathbf{Y}_1, \mathbf{Y}_2)) hesaplanması.
Cov(Y1,Y2)=Cov(X1−Σ13Σ33−1X3,X2)=Σ12−Σ13Σ33−1Σ32Cov(\mathbf{Y}_1, \mathbf{Y}_2) = Cov(\mathbf{X}_1 - \boldsymbol{\Sigma}_{13}\boldsymbol{\Sigma}_{33}^{-1}\mathbf{X}_3, \mathbf{X}_2) = \boldsymbol{\Sigma}_{12} - \boldsymbol{\Sigma}_{13}\boldsymbol{\Sigma}_{33}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{32} olarak elde edilir.
İki vektörün bağımsızlık şartını incelemek için öncelikle aralarındaki doğrusal ilişkinin (kovaryansın) yapısı belirlenmelidir.
2
İstatistiksel bağımsızlık için çapraz kovaryans matrisinin sıfıra eşitlenmesi.
Bağımsızlık için Σ12−Σ13Σ33−1Σ32=0\boldsymbol{\Sigma}_{12} - \boldsymbol{\Sigma}_{13}\boldsymbol{\Sigma}_{33}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{32} = \mathbf{0} olmalı, buradan Σ12=Σ13Σ33−1Σ32\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \boldsymbol{\Sigma}_{13}\boldsymbol{\Sigma}_{33}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{32} şartı çıkarılır.
Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal bağımsızlık için sıfır kovaryans bir ön koşuldur.
3
Sıfır kovaryansın bağımsızlık ifade etmesi için gereken teorik dağılım varsayımının değerlendirilmesi.
Tüm vektör bileşenlerini kapsayan X=(X1T,X2T,X3T)T\mathbf{X} = (\mathbf{X}_1^T, \mathbf{X}_2^T, \mathbf{X}_3^T)^T vektörünün ortak (joint) çok değişkenli normal dağılıma sahip olması gerektiği sonucuna varılır.
Sadece marjinal normallik durumunda sıfır kovaryans, bağımsızlığı garanti etmez; bileşik vektörün ortak normal dağılması matematiksel bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Ortak Normallik ve Koşullu Bağımsızlık
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Bağımsızlık

Bu konudan daha fazla soru