Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bir tarım araştırmacısı, buğday tarlalarında kullanılan gübre miktarı (XX, kg/dekar) ile elde edilen ürün verimi (YY, ton/dekar) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla 1010 farklı tarladan veri toplamıştır. Araştırmacı verilerden aşağıdaki özet istatistikleri hesaplamıştır:

n=10n = 10
Xˉ=5\bar{X} = 5
Yˉ=12\bar{Y} = 12
∑i=110(Xi−Xˉ)2=40\sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2 = 40
∑i=110(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=60\sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 60

Buna göre, bağımlı değişkenin (YY) bağımsız değişken (XX) üzerine regresyonu için En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilen basit doğrusal regresyon denklemi (Y^=β^0+β^1X\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Y^=4,5+1,5X\hat{Y} = 4,5 + 1,5 XCevap
  2. B
    Y^=19,5+1,5X\hat{Y} = 19,5 + 1,5 X
  3. C
    Y^=8,67+0,67X\hat{Y} = 8,67 + 0,67 X
  4. D
    Y^=1,5+4,5X\hat{Y} = 1,5 + 4,5 X
  5. E
    Y^=7+1,5X\hat{Y} = 7 + 1,5 X

Cevap

Doğru tahmin edilen regresyon denklemi Y^=4,5+1,5X\hat{Y} = 4,5 + 1,5 X şeklindedir.
Verilen özet istatistikler kullanılarak eğim parametresi β^1=6040=1,5\hat{\beta}_1 = \frac{60}{40} = 1,5 olarak bulunur. Sabit terim ise ortalamalar yardımıyla β^0=12−(1,5×5)=4,5\hat{\beta}_0 = 12 - (1,5 \times 5) = 4,5 olarak hesaplanır. Bu değerler denkleme yerleştirildiğinde Y^=4,5+1,5X\hat{Y} = 4,5 + 1,5 X doğrusu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğim parametresinin (β^1\hat{\beta}_1) hesaplanması
β^1=6040=1,5\hat{\beta}_1 = \frac{60}{40} = 1,5
EKK yönteminde eğim katsayısı, X ve Y arasındaki ortak değişimin (kovaryansın pay kısmı), X'in kendi içindeki değişimine (varyansın pay kısmı) bölünmesiyle bulunur: β^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}
2
Sabit terimin (β^0\hat{\beta}_0) hesaplanması
β^0=12−(1,5×5)=12−7,5=4,5\hat{\beta}_0 = 12 - (1,5 \times 5) = 12 - 7,5 = 4,5
Regresyon doğrusu mutlaka değişkenlerin ortalamalarından (Xˉ\bar{X}, Yˉ\bar{Y}) geçmek zorundadır. Bu nedenle sabit terim β^0=Yˉ−β^1Xˉ\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} formülüyle hesaplanır.
3
Regresyon denkleminin oluşturulması
Y^=4,5+1,5X\hat{Y} = 4,5 + 1,5 X
Bulunan parametre değerleri genel model denklemi olan Y^=β^0+β^1X\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X ifadesinde yerine konur.

Anahtar Kavram

Basit Doğrusal Regresyonda EKK Tahmincilerinin Formülleri
Bu soruyu puanla

Konular

EKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bu konudan daha fazla soru