Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bir il sağlık müdürlüğü, ilçelerdeki aile sağlığı merkezlerinde görev yapan hekim sayısı (XX) ile aylık muayene edilen toplam ortalama hasta sayısı (YY) arasındaki ilişkiyi basit doğrusal regresyon modeli ile incelemektedir. Rastgele seçilen 5050 ilçe için toplanan verilere ait bazı özet istatistikler aşağıda verilmiştir:

* n=50n = 50
* ∑i=1nXi=500\sum_{i=1}^{n} X_i = 500
* ∑i=1nYi=35000\sum_{i=1}^{n} Y_i = 35000
* ∑i=1n(Xi−Xˉ)2=250\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 = 250
* ∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=5000\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 5000

Gauss-Markov varsayımlarının sağlandığı kabul edildiğinde, YY'nin XX üzerine regresyonu için En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilen örneklem regresyon denklemi (Y^=β^0+β^1X\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Y^=500+20X\hat{Y} = 500 + 20XCevap
  2. B
    Y^=900+20X\hat{Y} = 900 + 20X
  3. C
    Y^=−300+100X\hat{Y} = -300 + 100X
  4. D
    Y^=680+20X\hat{Y} = 680 + 20X
  5. E
    Y^=700+20X\hat{Y} = 700 + 20X

Cevap

Doğru denklem Y^=500+20X\hat{Y} = 500 + 20X şeklindedir.
Verilen özet istatistikler kullanılarak EKK formülleri eksiksiz uygulandığında model Y^=500+20X\hat{Y} = 500 + 20X olarak bulunur. Gauss-Markov varsayımları geçerli olduğundan, elde edilen bu tahminciler doğrusal, yansız ve en küçük varyanslı (BLUE) özellik taşır. Eğim katsayısı 5000250=20\frac{5000}{250} = 20, ortalamalar ise Xˉ=10\bar{X}=10 ve Yˉ=700\bar{Y}=700'dür. Sabit terim β^0=700−(20×10)=500\hat{\beta}_0 = 700 - (20 \times 10) = 500 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bağımsız ve bağımlı değişkenlerin örneklem ortalamalarını hesaplama
Xˉ=50050=10\bar{X} = \frac{500}{50} = 10 ve Yˉ=3500050=700\bar{Y} = \frac{35000}{50} = 700
Regresyon modelinin sabit terimini (β^0\hat{\beta}_0) bulmak için her iki değişkenin ortalama değerine ihtiyaç vardır.
2
Eğim katsayısını (β^1\hat{\beta}_1) EKK formülüyle hesaplama
β^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2=5000250=20\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{5000}{250} = 20
Bağımsız değişkendeki bir birimlik artışın bağımlı değişkende yaratacağı ortalama değişimi belirlemek.
3
Sabit terimi (β^0\hat{\beta}_0) formül ile hesaplama
β^0=Yˉ−β^1Xˉ=700−20(10)=700−200=500\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1\bar{X} = 700 - 20(10) = 700 - 200 = 500
Regresyon doğrusunun Y eksenini kestiği noktayı, yani bağımsız değişken sıfır olduğunda Y'nin beklenen değerini bulmak.
4
Örneklem regresyon denklemini oluşturma
Y^=500+20X\hat{Y} = 500 + 20X
Hesaplanan parametre tahminlerini standart doğrusal model denkleminde yerine koymak.

Anahtar Kavram

EKK Yöntemi ile Basit Doğrusal Regresyon Katsayılarının Tahmini ve Gauss-Markov Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

EKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bu konudan daha fazla soru