Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bir Kalkınma Ajansı, desteklenen projelerin bütçeleri (XX, milyon TL) ile bu projelerin tamamlanma süreleri (YY, ay) arasındaki ilişkiyi basit doğrusal regresyon modeliyle tahmin etmek istemektedir. İncelenen n=81n=81 proje için aşağıdaki özet istatistikler elde edilmiştir:

∑i=181(Xi−Xˉ)2=400\sum_{i=1}^{81} (X_i - \bar{X})^2 = 400

∑i=181(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=100\sum_{i=1}^{81} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 100

Xˉ=15\bar{X} = 15

Yˉ=8\bar{Y} = 8

Klasik doğrusal regresyon modelinin tüm varsayımlarının (Gauss-Markov varsayımları) sağlandığı kabul edildiğinde; EKK (En Küçük Kareler) yöntemiyle elde edilen sabit terim (β^0\hat{\beta}_0) ve eğim katsayısı (β^1\hat{\beta}_1) tahminleri sırasıyla kaçtır ve bu tahmin edicilerin Gauss-Markov teoremine göre en temel istatistiksel özelliği aşağıdakilerden hangisidir?

  1. β^0=4,25\hat{\beta}_0 = 4,25 ; β^1=0,25\hat{\beta}_1 = 0,25 ; Doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler sınıfında minimum varyansa sahiptir.Cevap
  2. B
    β^0=−52\hat{\beta}_0 = -52 ; β^1=4\hat{\beta}_1 = 4 ; Doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler sınıfında minimum varyansa sahiptir.
  3. C
    β^0=11,75\hat{\beta}_0 = 11,75 ; β^1=0,25\hat{\beta}_1 = 0,25 ; Doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler sınıfında minimum varyansa sahiptir.
  4. D
    β^0=4,25\hat{\beta}_0 = 4,25 ; β^1=0,25\hat{\beta}_1 = 0,25 ; Sapmalı tahmin ediciler olup yalnızca büyük örneklemlerde tutarlılık özelliği gösterir.
  5. E
    β^0=68\hat{\beta}_0 = 68 ; β^1=4\hat{\beta}_1 = 4 ; Sapmalı tahmin ediciler olup yalnızca büyük örneklemlerde tutarlılık özelliği gösterir.

Cevap

Modelin katsayıları β^0=4,25\hat{\beta}_0 = 4,25 ve β^1=0,25\hat{\beta}_1 = 0,25 olup, bu tahmin ediciler doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler sınıfında minimum varyansa sahiptir.
Doğru seçenekte eğim katsayısı formülü (β^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}) uygulanarak 100400=0,25\frac{100}{400} = 0,25 değeri bulunmuştur. Sabit terim (β^0=Yˉ−β^1Xˉ\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}) eşitliğinden 8−(0,25×15)=4,258 - (0,25 \times 15) = 4,25 olarak hesaplanmıştır. Gauss-Markov teoremine göre, klasik varsayımlar altında elde edilen bu EKK tahmin edicileri, doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler arasında en küçük (minimum) varyansa sahip olma (EİDSTE/BLUE) özelliğini taşır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğim katsayısını (β^1\hat{\beta}_1) hesapla.
β^1=100400=0,25\hat{\beta}_1 = \frac{100}{400} = 0,25
EKK yönteminde eğim katsayısı, XX ve YY'nin ortak varyansının (çarpımlar toplamı) XX'in varyansına (kareler toplamı) bölünmesiyle bulunur.
2
Sabit terimi (β^0\hat{\beta}_0) hesapla.
β^0=8−(0,25×15)=8−3,75=4,25\hat{\beta}_0 = 8 - (0,25 \times 15) = 8 - 3,75 = 4,25
Regresyon doğrusu örneklem ortalamalarından (Xˉ,Yˉ\bar{X}, \bar{Y}) geçmek zorundadır. Bu nedenle β^0=Yˉ−β^1Xˉ\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1\bar{X} formülü kullanılır.
3
Gauss-Markov teoremine göre tahmin edicilerin özelliklerini belirle.
EKK tahmin edicileri En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edicidir (EİDSTE / BLUE).
Klasik varsayımlar sağlandığında, EKK tahmin edicileri sapmasızdır ve tüm doğrusal sapmasız tahmin ediciler arasında en küçük varyansa (minimum varyans / en iyi) sahiptir.

Anahtar Kavram

EKK Parametre Tahmini ve Gauss-Markov Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

EKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bu konudan daha fazla soru