Examkin

Soru

Zorluk: ZorEKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bir araştırmacı, basit doğrusal regresyon modelini tahmin etmek üzere 2020 gözlemden oluşan bir veri seti için aşağıdaki özet istatistikleri elde etmiştir:

Xˉ=5\bar{X} = 5, Yˉ=20\bar{Y} = 20
∑(Xi−Xˉ)2=400\sum (X_i - \bar{X})^2 = 400
∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=800\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 800

Araştırmacı, Gauss-Markov teoreminin tüm varsayımlarının sağlandığını kabul ederek parametreleri EKK (En Küçük Kareler) yöntemiyle tahmin etmiş ve en iyi doğrusal sapmasız tahmin edicilere (BLUE) ulaşmıştır.

Buna göre, eğim katsayısının tahmini (β^1\hat{\beta}_1) değeri ve modelde sonradan değişen varyans (heteroskedastisite) sorunu olduğu fark edilirse Gauss-Markov teoremine göre EKK tahmin edicilerinin ortadan kalkan özelliği aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla ve doğru olarak verilmiştir?

  1. β^1=2\hat{\beta}_1 = 2 ; Etkinlik (minimum varyans) özelliği ortadan kalkar, ancak tahmin ediciler sapmasız kalmaya devam eder.Cevap
  2. B
    β^1=2\hat{\beta}_1 = 2 ; Sapmasızlık özelliği ortadan kalkar, ancak tahmin ediciler tutarlı olmaya devam eder.
  3. C
    β^1=0,5\hat{\beta}_1 = 0,5 ; Etkinlik (minimum varyans) özelliği ortadan kalkar, ancak tahmin ediciler sapmasız kalmaya devam eder.
  4. D
    β^1=0,5\hat{\beta}_1 = 0,5 ; Sapmasızlık özelliği ortadan kalkar ve tahmin ediciler sapmalı hâle gelir.
  5. E
    β^1=4\hat{\beta}_1 = 4 ; Hem sapmasızlık hem de tutarlılık özellikleri ortadan kalkar.

Cevap

Eğim katsayısı 2'dir ve değişen varyans durumunda etkinlik (minimum varyans) özelliği ortadan kalkar.
Basit doğrusal regresyonda EKK eğim katsayısı β^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} formülü ile hesaplanır ve 800400=2\frac{800}{400} = 2 bulunur. Gauss-Markov teoremine göre EKK tahmin edicilerinin 'En İyi' (BLUE içerisindeki Best / Etkin) olabilmesi için hata terimlerinin varyansının sabit olması gerekir. Değişen varyans sorunu ortaya çıktığında tahmin ediciler sapmasız, tutarlı ve doğrusal kalmaya devam eder ancak etkinlik (minimum varyans) özelliği kaybolur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğim katsayısını (β^1\hat{\beta}_1) EKK formülü ile hesaplama
β^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2=800400=2\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{800}{400} = 2
EKK yönteminde eğim parametresinin tahmini, iki değişken arasındaki ortak değişimin, bağımsız değişkenin kendi içindeki değişimine oranı ile bulunur.
2
Gauss-Markov teoremini ve varsayım ihlallerini değerlendirme
Değişen varyans (heteroskedastisite) sorunu durumunda, EKK tahmin edicileri sapmasız ve tutarlı kalmaya devam eder, ancak minimum varyanslı (etkin) olma özelliklerini yitirirler.
Gauss-Markov teoremine göre en iyi (etkin) olmanın temel şartı hata terimlerinin sabit varyanslı olmasıdır.

Anahtar Kavram

EKK Tahmin Edicilerinin BLUE Özellikleri ve Varsayım İhlalleri
Bu soruyu puanla

Konular

EKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bu konudan daha fazla soru