Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bir araştırmacı, XX (bağımsız) ve YY (bağımlı) değişkenleri arasındaki ilişkiyi incelemek için klasik doğrusal regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemi ile tahmin etmiştir. Değişkenlerin ortalamadan farkları (xi=Xi−Xˉx_i = X_i - \bar{X} ve yi=Yi−Yˉy_i = Y_i - \bar{Y}) dikkate alınarak aşağıdaki özet istatistikler elde edilmiştir:

n=25n = 25
∑i=1nxi2=50\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = 50
∑i=1nxiyi=150\sum_{i=1}^{n} x_i y_i = 150

Modelin temel varsayımlarının (Gauss-Markov varsayımları) tam olarak sağlandığı bilinmektedir.

Buna göre, EKK yöntemi ile hesaplanan eğim katsayısı (β^1\hat{\beta}_1) tahmin edicisinin değeri ve Gauss-Markov teoremine göre özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. β^1=3\hat{\beta}_1 = 3'tür ve doğrusal, yansız tahmin ediciler sınıfı içinde en küçük varyansa sahip tahmin edicidir.Cevap
  2. B
    β^1=3\hat{\beta}_1 = 3'tür ve bu tahmin edicinin en küçük varyanslı olabilmesi için hata terimlerinin normal dağılması zorunludur.
  3. C
    β^1=13\hat{\beta}_1 = \frac{1}{3}'tür ve doğrusal, yansız tahmin ediciler sınıfı içinde en küçük varyansa sahip tahmin edicidir.
  4. D
    β^1=3\hat{\beta}_1 = 3'tür ancak modelde değişen varyans (heteroskedastisite) sorunu ortaya çıkarsa bu tahmin edici yansızlık özelliğini kesinlikle yitirir.
  5. E
    β^1=13\hat{\beta}_1 = \frac{1}{3}'tür ve modeldeki hata terimlerinin otokorelasyonlu olması durumunda tahmin edici tutarsız hale gelir.

Cevap

Hesaplanan katsayı β^1=3\hat{\beta}_1 = 3'tür ve bu katsayı, tüm doğrusal ve yansız tahmin ediciler arasında en küçük varyansa sahiptir (BLUE özelliği).
Eğim katsayısı, ortalamadan farklar formülü kullanılarak β^1=∑xiyi∑xi2=15050=3\hat{\beta}_1 = \frac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2} = \frac{150}{50} = 3 olarak hesaplanır. Ayrıca Gauss-Markov teoremine göre, klasik doğrusal regresyon modelinin temel varsayımları sağlandığında EKK tahmin edicileri BLUE'dur (Best Linear Unbiased Estimator). Buradaki 'Best' (En İyi) ifadesi, bu tahmin edicinin tüm doğrusal ve yansız tahmin ediciler arasında 'en küçük varyansa' sahip olduğunu matematiksel olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Eğim katsayısı formülünü hatırlama
β^1=∑xiyi∑xi2\hat{\beta}_1 = \frac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2}
EKK yönteminde ortalamadan farklar formülü kullanılarak eğim katsayısı (parametre tahmini) hesaplanır.
2
Verilen değerleri formülde yerine koyma
β^1=15050=3\hat{\beta}_1 = \frac{150}{50} = 3
Sayısal katsayı değerine ulaşmak için verilerin denkleme yerleştirilmesi gerekir.
3
Gauss-Markov teoreminin sonucunu değerlendirme
EKK tahmin edicileri BLUE (En İyi Doğrusal Yansız Tahmin Edici) özelliğine sahiptir.
Modelin tüm varsayımları sağlandığında EKK, doğrusal ve yansız tahmin ediciler arasında en küçük varyansa (minimum varyans) sahiptir.

Anahtar Kavram

EKK Eğim Katsayısı Hesaplanması ve Gauss-Markov Teoremi
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

EKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bu konudan daha fazla soru