Soru

Bir istatistikçi, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2 = 16$ olan normal dağılıma sahip bir kitleden $n = 16$ hacimli bir rastgele örneklem ($X_1, X_2, \dots, X_{16}$) almıştır.

İstatistikçi, $\mu$ parametresini tahmin etmek için yansız bir tahmin edici olan $T = X_1$ istatistiğini kullanmayı önermiştir. Ancak bu tahmin edicinin varyansının büyük olduğunu fark edince, Rao-Blackwell teoremini uygulayarak $T$ istatistiğini $\mu$ için yeterli bir istatistik olan $S = \sum_{i=1}^{16} X_i$ üzerine koşullandırmış ve $T^* = E[T|S]$ şeklinde yeni bir tahmin edici elde etmiştir.

Buna göre, Rao-Blackwell teoremi sonucunda elde edilen $T^*$ tahmin edicisinin varyansı, ilk tahmin edici $T$'nin varyansına göre ne kadar azalmıştır?