Examkin

Soru

Zorluk: KolayTahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bir devlet fidanlığında yeni yetiştirilen fidanların yıllık boy uzama miktarı XX (santimetre cinsinden) rassal değişkeni, θ>0\theta > 0 olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir:

f(x;θ)=1θ,0<x<θf(x; \theta) = \frac{1}{\theta}, \quad 0 < x < \theta

Bu fidanlıktan rastgele seçilen bir fidanın boy uzama miktarı (xx) gözlemlenerek, maksimum uzama sınırı olan θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla T=XT = X tahmin edicisi önerilmiştir. Buna göre, TT tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSEMSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    θ212\frac{\theta^2}{12}
  2. B
    θ24\frac{\theta^2}{4}
  3. θ23\frac{\theta^2}{3}Cevap
  4. D
    θ26\frac{\theta^2}{6}
  5. E
    2θ23\frac{2\theta^2}{3}

Cevap

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması θ23\frac{\theta^2}{3} olarak hesaplanır.
Tahmin edici olan T=XT=X değişkeninin beklenen değeri θ/2\theta/2 olup −θ/2-\theta/2 miktarında bir yanlılığa sahiptir. Bu yan miktarının karesi (θ2/4\theta^2/4) ile tahmin edicinin varyansı (θ2/12\theta^2/12) toplandığında toplam hata kareler ortalaması θ2/3\theta^2/3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini hesapla.
E[T]=E[X]=∫0θx⋅1θdx=[x22θ]0θ=θ2E[T] = E[X] = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{1}{\theta} dx = \left[ \frac{x^2}{2\theta} \right]_{0}^{\theta} = \frac{\theta}{2}
Yansızlık durumunu kontrol etmek ve yan (bias) miktarını bulmak için beklenen değer gereklidir.
2
Yan (bias) miktarını ve karesini hesapla.
Yan(T)=E[T]−θ=θ2−θ=−θ2Yan(T) = E[T] - \theta = \frac{\theta}{2} - \theta = -\frac{\theta}{2} ve [Yan(T)]2=θ24[Yan(T)]^2 = \frac{\theta^2}{4}
MSE formülündeki yan bileşenini belirlemek için parametre ile beklenen değer arasındaki fark alınır.
3
Tahmin edicinin varyansını hesapla.
E[X2]=∫0θx2⋅1θdx=θ23E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \cdot \frac{1}{\theta} dx = \frac{\theta^2}{3} buradan V(T)=E[X2]−(E[X])2=θ23−θ24=θ212V(T) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{3} - \frac{\theta^2}{4} = \frac{\theta^2}{12}
MSE hesaplamasının ikinci ana bileşeni olan varyansı bulmak için momentlerden yararlanılır.
4
MSE formülünü uygula.
MSE(T)=V(T)+[Yan(T)]2=θ212+θ24=θ2+3θ212=4θ212=θ23MSE(T) = V(T) + [Yan(T)]^2 = \frac{\theta^2}{12} + \frac{\theta^2}{4} = \frac{\theta^2 + 3\theta^2}{12} = \frac{4\theta^2}{12} = \frac{\theta^2}{3}
Bir tahmin edicinin toplam hatası, varyansı ve yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin kalitesini ölçen ve MSE(T)=Var(T)+[Bias(T)]2MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2 şeklinde tanımlanan temel bir istatistiksel ölçüttür.

Alternatif Yöntem

MSE değeri doğrudan tanım gereği E[(T−θ)2]E[(T-\theta)^2] integrali ile de hesaplanabilir: ∫0θ(x−θ)21θdx\int_{0}^{\theta} (x-\theta)^2 \frac{1}{\theta} dx işlemi yapılarak aynı sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru