Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bir araştırmacı, dağılımı

f(x;θ)={3x2θ3,0<x<θ0,dig˘er yerlerdef(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer yerlerde} \end{cases}

şeklinde tanımlı bir kitleden nn birimlik X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemini çekmiştir.

Bu araştırmacı, θ\theta parametresini tahmin etmek için en büyük sıra istatistiği olan T=max⁡(X1,X2,…,Xn)T = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) tahmin edicisini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, TT tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1(3n+1)2θ2\frac{1}{(3n+1)^2}\theta^2
  2. B
    3n3n+2θ2\frac{3n}{3n+2}\theta^2
  3. 2(3n+1)(3n+2)θ2\frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2Cevap
  4. D
    3n(3n+1)2(3n+2)θ2\frac{3n}{(3n+1)^2(3n+2)}\theta^2
  5. E
    1(3n+1)(3n+2)θ2\frac{1}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2

Cevap

Doğru cevap, MSE=Var(T)+Bias(T)2MSE = Var(T) + Bias(T)^2 eşitliğinden hesaplanan 2(3n+1)(3n+2)θ2\frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2 ifadesidir.
Hata kareler ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir. Önce en büyük sıra istatistiği olan TT'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu fT(x)=3nx3n−1θ3nf_T(x) = \frac{3nx^{3n-1}}{\theta^{3n}} olarak bulunur. Buradan tahmin edicinin beklenen değeri E[T]=3n3n+1θE[T] = \frac{3n}{3n+1}\theta bulunur; dolayısıyla tahmin edici yanlıdır ve yan miktarı −13n+1θ-\frac{1}{3n+1}\theta olur. Tahmin edicinin ikinci momenti ve varyansı hesaplandıktan sonra, varyans ile yan miktarının karesi toplandığında sonuç 2(3n+1)(3n+2)θ2\frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemin birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) ve en büyük sıra istatistiği T'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak.
F(x)=x3θ3F(x) = \frac{x^3}{\theta^3} ve fT(x)=n[F(x)]n−1f(x)=3nx3n−1θ3nf_T(x) = n[F(x)]^{n-1} f(x) = \frac{3n x^{3n-1}}{\theta^{3n}} (0<x<θ0 < x < \theta)
Sıra istatistiklerinin beklenen değer ve varyansını hesaplayabilmek için T'nin yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
2
T tahmin edicisinin beklenen değerini (E[T]E[T]) ve yan (bias) miktarını hesaplamak.
E[T]=∫0θx3nx3n−1θ3ndx=3n3n+1θE[T] = \int_0^\theta x \frac{3n x^{3n-1}}{\theta^{3n}} dx = \frac{3n}{3n+1}\theta. Yan (Bias) = E[T]−θ=−13n+1θE[T] - \theta = -\frac{1}{3n+1}\theta
MSE formülünde kullanmak üzere tahmin edicinin yanlı olup olmadığını ve yan miktarını belirlemek gereklidir.
3
T'nin ikinci momentini (E[T2]E[T^2]) ve varyansını (V(T)V(T)) hesaplamak.
E[T2]=∫0θx23nx3n−1θ3ndx=3n3n+2θ2E[T^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{3n x^{3n-1}}{\theta^{3n}} dx = \frac{3n}{3n+2}\theta^2, V(T)=E[T2]−(E[T])2=3n(3n+2)(3n+1)2θ2V(T) = E[T^2] - (E[T])^2 = \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2
MSE hesabının ikinci temel bileşeni olan tahmin edicinin varyansını elde etmek için varyans tanımı kullanılır.
4
Hata kareler ortalaması (MSE) eşitliğini kullanarak nihai sonuca ulaşmak.
MSE(T)=V(T)+Bias(T)2=3n(3n+2)(3n+1)2θ2+1(3n+1)2θ2=2(3n+1)(3n+2)θ2MSE(T) = V(T) + Bias(T)^2 = \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 + \frac{1}{(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2
MSE, tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşit olduğundan bu iki değer cebirsel olarak toplanır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yanlı Tahmin Ediciler
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru