X_1, X_2, \dots, X_n, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2… — KPSS İstatistik

X_1, X_2, \dots, X_n

, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

olan bir kitleden çekilen

n

birimlik rastgele bir örneklem ve

X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)

bu örneklemin en büyük sıra istatistiği olsun.

\theta > 0

bilinmeyen bir parametredir.

$\theta$ parametresini tahmin etmek için iki farklı tahmin edici tanımlanmıştır:
* $T_1 = c \cdot X_{(n)}$ ( $\theta$ için yansız bir tahmin edicidir)
* $T_2 = X_{(n)}$ ( $\theta$ için en çok olabilirlik tahmin edicisidir)

Buna göre, $T_2$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalamasının (MSE), $T_1$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalamasına (MSE) oranı olan $\left( \frac{MSE(T_2)}{MSE(T_1)} \right)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{9n^2}{(3n+1)^2}$
B
$\frac{3n+1}{6n}$
$\frac{6n}{3n+1}$ Cevap
D
$2$
E
$\frac{3n}{3n+2}$

Cevap

\frac{6n}{3n+1}

ifadesi doğru orandır.

Doğru yanıt,

T_1

'in yansızlık sabiti bulunup MSE'sinin sadece varyans formülüyle,

T_2

'nin MSE'sinin ise varyansa yan miktarının karesi eklenerek bulunması ve bu iki değerin birbirine oranlanması ile elde edilen

\frac{6n}{3n+1}

ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

X_{(n)}

sıra istatistiğinin dağılım fonksiyonunu ve olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulma.

Kümülatif dağılım:

F(x) = \int_0^x \frac{3t^2}{\theta^3} dt = \frac{x^3}{\theta^3}

. Buna göre

X_{(n)}

'in PDF'si:

f_{(n)}(y) = n [F(y)]^{n-1} f(y) = n \left(\frac{y^3}{\theta^3}\right)^{n-1} \frac{3y^2}{\theta^3} = \frac{3n y^{3n-1}}{\theta^{3n}}

(

0 < y < \theta

Sıra istatistiğinin beklenen değerini ve varyansını hesaplayabilmek için öncelikle dağılım fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

X_{(n)}

istatistiğinin beklenen değer (

E[X_{(n)}]

) ve varyans (

Var(X_{(n)})

) değerlerini hesaplama.

E[X_{(n)}] = \int_0^\theta y \frac{3n y^{3n-1}}{\theta^{3n}} dy = \frac{3n}{3n+1}\theta

E[X_{(n)}^2] = \int_0^\theta y^2 \frac{3n y^{3n-1}}{\theta^{3n}} dy = \frac{3n}{3n+2}\theta^2

Var(X_{(n)}) = E[X_{(n)}^2] - (E[X_{(n)}])^2 = \frac{3n}{3n+2}\theta^2 - \frac{9n^2}{(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2

Tahmin edicilerin yan miktarını (bias) ve varyanslarını bulmak için bu momentler zorunludur.

T_1

'in yansızlık sabiti olan

c

'yi bulma ve

MSE(T_1)

'i hesaplama.

E[T_1] = c E[X_{(n)}] = c \frac{3n}{3n+1}\theta = \theta

olmalıdır. Buradan

c = \frac{3n+1}{3n}

bulunur.

T_1

yansız olduğu için

MSE(T_1) = Var(T_1) = c^2 Var(X_{(n)}) = \left(\frac{3n+1}{3n}\right)^2 \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{1}{3n(3n+2)}\theta^2

Yansız bir tahmin edicinin MSE'si doğrudan kendi varyansına eşittir. Sabit çarpana dikkat edilerek varyans hesaplanmalıdır.

T_2 = X_{(n)}

tahmin edicisinin MSE değerini formül (

MSE = Var + Yan^2

) ile hesaplama.

Yan(T_2) = E[X_{(n)}] - \theta = \frac{3n}{3n+1}\theta - \theta = \frac{-\theta}{3n+1}

MSE(T_2) = Var(X_{(n)}) + [Yan(T_2)]^2 = \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 + \frac{1}{(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{3n + (3n+2)}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{6n+2}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{2(3n+1)}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{2}{(3n+2)(3n+1)}\theta^2

T_2

yanlı bir tahmin edicidir, bu nedenle MSE hesabı için varyansa yan miktarının karesi eklenmek zorundadır.

MSE(T_2) / MSE(T_1)

oranını oluşturma.

\frac{MSE(T_2)}{MSE(T_1)} = \frac{\frac{2}{(3n+2)(3n+1)}\theta^2}{\frac{1}{3n(3n+2)}\theta^2} = \frac{2 \cdot 3n(3n+2)}{(3n+2)(3n+1)} = \frac{6n}{3n+1}

İki farklı tahmin edicinin verimliliklerini veya MSE'lerini kıyaslamak için istenen nihai işlem gerçekleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yansızlık

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru