Bir X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir: f(x; \theta) =… — KPSS İstatistik

Bir $X$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2}{\theta} \left( 1 - \frac{x}{\theta} \right), & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu dağılımdan çekilen $n$ birimlik bir rastgele örneklemin ortalaması $\bar{X}$ olmak üzere, $\theta$ parametresi için $T = 2\bar{X}$ tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{2-n}{9n}\theta^2$
B
$\frac{n+1}{9n}\theta^2$
$\frac{n+2}{9n}\theta^2$ Cevap
D
$\frac{2}{9n}\theta^2$
E
$\frac{4n+2}{9n}\theta^2$

Cevap

T

tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE)

\frac{n+2}{9n}\theta^2

ifadesine eşittir.

Hata kareler ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir (

MSE = Var(T) + Bias^2

). Kütle ortalaması

E[X] = \theta/3

ve kütle varyansı

Var(X) = \theta^2/18

olarak hesaplanır. Önerilen

T = 2\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değeri

E[T] = 2\theta/3

olup, yan miktarı

E[T] - \theta = -\theta/3

şeklindedir. Tahmin edicinin varyansı ise

Var(T) = 4Var(\bar{X}) = 4(\theta^2 / 18n) = 2\theta^2 / 9n

olur. Formülde yerine konulduğunda

MSE(T) = (2\theta^2 / 9n) + (\theta^2 / 9) = \frac{n+2}{9n}\theta^2

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

X

rassal değişkeninin beklenen değerini (

E[X]

) ve ikinci momentini (

E[X^2]

) hesapla.

E[X] = \int_0^\theta x \frac{2}{\theta} (1 - \frac{x}{\theta}) dx = \frac{\theta}{3}

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{2}{\theta} (1 - \frac{x}{\theta}) dx = \frac{\theta^2}{6}

bulunur.

Kütle varyansını ve örneklem ortalamasının özelliklerini bulabilmek için kütlenin momentlerine ihtiyaç vardır.

Kütle varyansını (

Var(X)

) hesapla.

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{6} - \left(\frac{\theta}{3}\right)^2 = \frac{\theta^2}{18}

olarak bulunur.

Tahmin edici olan

T

'nin varyansını hesaplayabilmek için ana kütle varyansının bilinmesi gereklidir.

T = 2\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını bul.

E[T] = 2E[\bar{X}] = 2\left(\frac{\theta}{3}\right) = \frac{2\theta}{3}

Var(T) = 4Var(\bar{X}) = 4\left(\frac{\theta^2}{18n}\right) = \frac{2\theta^2}{9n}

olur.

MSE hesabı, tahmin edicinin varyansına ve parametreye olan uzaklığına (beklenen değerine) dayanır.

Tahmin edicinin yan miktarını (

B(\theta)

) bul ve Hata Kareler Ortalamasını (

MSE

) hesapla.

B(\theta) = E[T] - \theta = \frac{2\theta}{3} - \theta = -\frac{\theta}{3}

olur. Buradan

MSE(T) = Var(T) + B(\theta)^2 = \frac{2\theta^2}{9n} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{n+2}{9n}\theta^2

elde edilir.

Yanlı tahmin edicilerde MSE, varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yansızlık

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru