X_1, X_2, \dots, X_n, beklenen değeri \theta olan üstel (eksponansiyel) dağılımdan alınmış… — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \dots, X_n$ , beklenen değeri $\theta$ olan üstel (eksponansiyel) dağılımdan alınmış $n$ birimlik rastgele bir örneklem olsun.

Bir araştırmacı $\theta^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla, örneklem ortalamasının karesini kullanarak $T_c = c\bar{X}^2$ formunda bir tahmin edici sınıfı tanımlamıştır ( $c > 0$ bir sabittir).

Araştırmacı, bu sınıf içerisinden Hata Kareler Ortalamasını (MSE) minimum yapan optimal $T_{opt}$ tahmin edicisini seçtiğine göre, seçilen bu tahmin edicinin yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

$-\frac{2(2n+3)}{(n+2)(n+3)}\theta^2$ Cevap
B
$0$
C
$\frac{1}{n}\theta^2$
D
$-\theta^2$
E
$-\frac{2(2n+1)}{n^2+6n+3}\theta^2$

Cevap

Optimal tahmin edicinin yan miktarı

-\frac{2(2n+3)}{(n+2)(n+3)}\theta^2

olarak hesaplanır.

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) minimize eden tahmin edici bulunurken denklem

E[(T - \theta^2)^2] = c^2 E[\bar{X}^4] - 2c\theta^2 E[\bar{X}^2] + \theta^4

şeklinde kurulur. Üstel örneklem toplamının Gamma dağılması özelliğinden 2. ve 4. momentler sırasıyla

E[\bar{X}^2] = \frac{n+1}{n}\theta^2

E[\bar{X}^4] = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^3}\theta^4

olarak bulunur. MSE fonksiyonunun

c

'ye göre türevi sıfıra eşitlendiğinde optimal katsayı

c_{opt} = \frac{n^2}{(n+2)(n+3)}

elde edilir. Yan miktarı ise

E[T_{opt}] - \theta^2

formülünden hesaplandığında sonucun negatif bir rasyonel polinom katsayısına sahip olduğu doğru seçenek ortaya çıkar.

Adım Adım Çözüm

Örneklem ortalamasının karesinin beklenen değerini (

E[\bar{X}^2]

) hesapla.

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + E[\bar{X}]^2 = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \frac{n+1}{n}\theta^2

Tahmin edicinin yan (bias) miktarını bulmak için birinci momente ihtiyaç vardır.

MSE hesabında kullanılacak 4. momenti (

E[\bar{X}^4]

) Gamma dağılımı özelliklerinden türet.

Üstel örneklem toplamı

S = \sum X_i \sim Gamma(n, \theta)

dağılır.

E[S^4] = n(n+1)(n+2)(n+3)\theta^4

. Buradan

E[\bar{X}^4] = \frac{E[S^4]}{n^4} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^3}\theta^4

MSE denkleminde

E[T_c^2] = c^2 E[\bar{X}^4]

terimi yer alır ve bu hesaplama optimizasyon için kritiktir.

MSE fonksiyonunu

c

parametresine göre yaz ve türev alarak minimum yapan

c_{opt}

değerini bul.

MSE(c) = E[(c\bar{X}^2 - \theta^2)^2] = c^2 E[\bar{X}^4] - 2c\theta^2 E[\bar{X}^2] + \theta^4

. Türev sıfıra eşitlendiğinde:

c_{opt} = \frac{\theta^2 E[\bar{X}^2]}{E[\bar{X}^4]} = \frac{n^2}{(n+2)(n+3)}

bulunur.

Hata Kareler Ortalaması'nın minimum noktası, tahmin edicinin optimal ölçekleme faktörünü (c) verir.

Bulunan

c_{opt}

değeri için tahmin edicinin yan miktarını (Bias) hesapla.

Bias = E[c_{opt}\bar{X}^2] - \theta^2 = c_{opt}\frac{n+1}{n}\theta^2 - \theta^2 = \left[ \frac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)} - 1 \right]\theta^2 = -\frac{2(2n+3)}{(n+2)(n+3)}\theta^2

Soru bizden yansızlık durumunu değil, minimum MSE'ye sahip tahmin edicinin içerdiği teorik yan miktarını istemektedir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Minimizasyonu ve Yan-Varyans Ödünleşimi

Alternatif Yöntem

MSE(T_c)

fonksiyonunu tanımlarken

E[(T_c - \theta^2)^2]

beklenen değerini doğrudan açmak yerine,

MSE(T_c) = Var(T_c) + [Bias(T_c)]^2

eşitliğini kullanarak ve Varyans hesabını

Var(\bar{X}^2) = E[\bar{X}^4] - (E[\bar{X}^2])^2

üzerinden kurgulayarak optimizasyon yapmak da matematiksel olarak eşdeğerdir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru