Bir kamu kurumunda yapılan performans ölçümlerinde, kitle ortalaması \mu ve varyansı \sigm… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda yapılan performans ölçümlerinde, kitle ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kitle gözlemlenmektedir. $\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla $n=3$ birimlik bağımsız ve özdeş dağılımlı rastgele bir örneklem seçilmiş ve aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}

T_2 = \frac{2X_1 + X_2 + X_3}{4}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin $T_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği (relative efficiency) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{9}{8}$ Cevap
B
$\frac{8}{9}$
C
$\frac{3}{4}$
D
$\frac{4}{3}$
E
$1$

Cevap

9/8 değerine sahip olan seçenek doğrudur.

Yapılan hesaplamalar sonucunda örneklem ortalamasının varyansı

\sigma^2/3

, önerilen ağırlıklı tahmin edicinin varyansı ise

3\sigma^2/8

bulunmuştur. Göreli etkinlik formülü olan

Var(T_2)/Var(T_1)

uygulandığında

(3/8) / (1/3) = 9/8

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

T_1

tahmin edicisinin varyansını hesaplayın.

Var(T_1) = Var(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}) = \frac{1}{9}(Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3)) = \frac{3\sigma^2}{9} = \frac{\sigma^2}{3}

Örneklem ortalamasının varyansı

\sigma^2/n

formülüyle bulunur.

T_2

tahmin edicisinin varyansını hesaplayın.

Var(T_2) = Var(\frac{2X_1 + X_2 + X_3}{4}) = \frac{1}{16}(2^2Var(X_1) + 1^2Var(X_2) + 1^2Var(X_3)) = \frac{4\sigma^2 + \sigma^2 + \sigma^2}{16} = \frac{6\sigma^2}{16} = \frac{3\sigma^2}{8}

Ağırlıklı ortalamanın varyansı, katsayıların karelerinin toplamı ile kitlenin varyansının çarpımına eşittir.

T_1

'in

T_2

'ye göre göreli etkinliğini hesaplayın.

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{3\sigma^2 / 8}{\sigma^2 / 3} = \frac{3}{8} \times \frac{3}{1} = \frac{9}{8}

Göreli etkinlik, baz alınan tahmin edicinin varyansının, incelenen tahmin edicinin varyansına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

İki yansız tahmin edici karşılaştırılırken, varyansı küçük olan tahmin edici daha etkindir.

T_1

ile

T_2

arasındaki göreli etkinlik

Var(T_2)/Var(T_1)

olarak tanımlanır.

İpuçları

Önce her iki tahmin edicinin de varyanslarını

\sigma^2

cinsinden bulun.

Bir tahmin edicinin varyansını hesaplarken katsayıların karesini almayı (

1/n^2

gibi) unutmayın.

Göreli etkinlik formülünü

Var(T_2)/Var(T_1)

şeklinde kurarak bölme işlemini tamamlayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı örneklem için Cramer-Rao alt sınırını hesaplayarak

T_1

'in mutlak etkinliğini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Varyans katsayılarını doğrudan karşılaştırabilirsiniz:

1/3 = 0.333

3/8 = 0.375

. Göreli etkinlik

0.375 / 0.333 = 1.125

yani

9/8

olur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru