Bir perakende şirketi, müşterilerinin sunulan hizmetten memnuniyet oranını (p) tahmin etme… — KPSS İstatistik

Bir perakende şirketi, müşterilerinin sunulan hizmetten memnuniyet oranını ( $p$ ) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla birbirinden bağımsız $4$ müşteri rastgele seçilmiş ve memnun olanlar için $X_i = 1$ , memnun olmayanlar için $X_i = 0$ $(i=1, 2, 3, 4)$ olacak şekilde bir örneklem oluşturulmuştur. $X_i$ rastgele değişkenlerinin $Bernoulli(p)$ dağılımına sahip olduğu bilinmektedir.

Bu parametrenin tahmini için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4}

T_2 = \frac{X_1 + 2X_2 + 2X_3 + X_4}{6}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin Cramer-Rao alt sınırına (CRLB) ulaşıp ulaşmadığı (mutlak etkinlik durumu) ile $T_1$ 'in $T_2$ 'ye göre göreli etkinliği $\left( RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} \right)$ aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

Mutlak etkindir; $\frac{10}{9}$ Cevap
B
Mutlak etkin değildir; $\frac{10}{9}$
C
Mutlak etkindir; $\frac{9}{10}$
D
Mutlak etkin değildir; $\frac{9}{10}$
E
Mutlak etkindir; $\frac{2}{3}$

Cevap

T_1

'in varyansı Cramer-Rao alt sınırına eşit olduğundan mutlak etkindir ve

RE(T_1, T_2) = \frac{10}{9}

olarak hesaplanır.

T_1

tahmin edicisinin varyansı

p(1-p)/4

olarak bulunur.

n=4

için Bernoulli dağılımının Fisher bilgi miktarı

I_n(p) = 4/(p(1-p))

'dir. Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) ise

1/I_n(p) = p(1-p)/4

olur.

Var(T_1) = CRLB

olduğundan

T_1

mutlak etkindir.

T_2

tahmin edicisinin varyansı ise katsayıların kareleri toplamı yardımıyla

(1^2+2^2+2^2+1^2)/36 \cdot p(1-p) = 10/36 \cdot p(1-p) = 5p(1-p)/18

çıkar. Göreli etkinlik

RE(T_1, T_2) = Var(T_2) / Var(T_1) = (5/18) / (1/4) = 10/9

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

T_1

tahmin edicisinin varyansını hesaplama.

Var(T_1) = \frac{1}{16} \sum_{i=1}^4 Var(X_i) = \frac{4p(1-p)}{16} = \frac{p(1-p)}{4}

Göreli etkinlik için ilk tahmin edicinin varyansı gereklidir.

T_2

tahmin edicisinin varyansını hesaplama.

Var(T_2) = \frac{1^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2}{36} Var(X) = \frac{1+4+4+1}{36}p(1-p) = \frac{10}{36}p(1-p) = \frac{5}{18}p(1-p)

Ağırlıklı tahmin edicilerde katsayıların karesi alınarak varyans toplanır.

RE(T_1, T_2)

göreli etkinlik oranını bulma.

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{5/18}{1/4} = \frac{5}{18} \cdot 4 = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}

Göreceli etkinlik, varyansların formüldeki tanıma uygun şekilde oranlanmasıyla elde edilir.

Fisher Bilgi Matrisi ve Cramer-Rao Alt Sınırını (CRLB) hesaplama.

I_n(p) = \frac{n}{p(1-p)} = \frac{4}{p(1-p)}

CRLB = \frac{1}{I_n(p)} = \frac{p(1-p)}{4}

Mutlak etkinlik durumu, varyansın teorik alt sınıra ulaşıp ulaşmadığı test edilerek tespit edilir.

Mutlak etkinlik durumunu kontrol etme.

Var(T_1) = \frac{p(1-p)}{4} = CRLB

olduğundan

T_1

mutlak etkindir.

Yansız bir tahmin edicinin varyansı CRLB'ye eşitse o tahmin edici mutlak etkindir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı ve Göreli Etkinlik

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru