Bir elektronik şirketinin ürettiği belirli bir mikroçipin kullanım ömrü (saat cinsinden), … — KPSS İstatistik

Bir elektronik şirketinin ürettiği belirli bir mikroçipin kullanım ömrü (saat cinsinden), beklenen değeri $\theta$ olan üstel dağılıma uymaktadır. Bu çipin ortalama ömrü olan $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla birbirinden bağımsız $4$ adet mikroçip rastgele test edilmiş ve ölçülen ömür değerleri sırasıyla $X_1, X_2, X_3$ ve $X_4$ olarak kaydedilmiştir.

$\theta$ parametresi için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

\hat{\theta}_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4}

\hat{\theta}_2 = \frac{X_1 + 2X_2 + X_3 + X_4}{5}

Buna göre, $\hat{\theta}_1$ tahmin edicisinin $\hat{\theta}_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği (relative efficiency) kaçtır ve $\hat{\theta}_1$ 'in mutlak etkinliği hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Göreli etkinlik $\frac{28}{25}$ 'tir ve $\hat{\theta}_1$ mutlak etkindir.Cevap
B
Göreli etkinlik $\frac{25}{28}$ 'dir ve $\hat{\theta}_1$ mutlak etkindir.
C
Göreli etkinlik $\frac{28}{25}$ 'tir ve $\hat{\theta}_1$ mutlak etkin değildir.
D
Göreli etkinlik $\frac{25}{28}$ 'dir ve $\hat{\theta}_1$ mutlak etkin değildir.
E
Göreli etkinlik $\frac{7}{25}$ 'tir ve $\hat{\theta}_1$ mutlak etkin değildir.

Cevap

Doğru seçenek, göreli etkinliğin 28/25 olduğu ve birinci tahmin edicinin mutlak etkin olduğu seçenektir.

Verilen üstel dağılımda, birinci tahmin edicinin varyansı

\frac{\theta^2}{4}

ve ikinci tahmin edicinin varyansı hesaplandığında

\frac{7\theta^2}{25}

olarak bulunur. Göreli etkinlik formülü gereği oran

\frac{7/25}{1/4} = \frac{28}{25}

olur. Aynı zamanda 4 örneklemli üstel dağılım için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB)

\frac{\theta^2}{4}

'tür. Birinci tahmin edicinin varyansı bu sınıra eşit olduğundan tahmin edici mutlak etkindir.

Adım Adım Çözüm

Tahmin edicilerin varyanslarını hesaplamak

Var(\hat{\theta}_1) = \frac{\theta^2}{4}

Var(\hat{\theta}_2) = (\frac{1^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2}{25})\theta^2 = \frac{7\theta^2}{25}

bulunur.

Göreli etkinliği bulmak için her iki tahmin edicinin varyans değerlerine ihtiyaç vardır.

Göreli etkinliği (Relative Efficiency) hesaplamak

RE(\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2) = \frac{Var(\hat{\theta}_2)}{Var(\hat{\theta}_1)} = \frac{7\theta^2/25}{\theta^2/4} = \frac{28}{25}

elde edilir.

Birinci tahmin edicinin ikinciye göre göreli etkinliği, ikinci tahmin edicinin varyansının birinci tahmin edicinin varyansına oranı ile bulunur.

Cramer-Rao Alt Sınırını (CRLB) hesaplamak

Üstel dağılım için

I_n(\theta) = \frac{n}{\theta^2}

olduğundan,

n=4

için CRLB

= \frac{1}{I_4(\theta)} = \frac{\theta^2}{4}

hesaplanır.

Mutlak etkinliği test etmek için tahmin edicinin varyansının Cramer-Rao alt sınırına eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.

Mutlak etkinliği değerlendirmek

Var(\hat{\theta}_1) = \frac{\theta^2}{4} = \text{CRLB}

olduğundan

\hat{\theta}_1

'in mutlak etkin olduğu sonucuna varılır.

Varyansı Cramer-Rao alt sınırına (CRLB) eşit olan yansız tahmin ediciler mutlak etkin kabul edilir.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Etkinliği ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru