Bir fabrikada rastgele seçilen 3 günlük hatalı ürün sayıları X_1, X_2 ve X_3 olup, bu rast… — KPSS İstatistik

Bir fabrikada rastgele seçilen 3 günlük hatalı ürün sayıları $X_1, X_2$ ve $X_3$ olup, bu rastgele değişkenler birbirinden bağımsız ve $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına sahiptir. $\lambda$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}

T_2 = \frac{X_1 + 2X_2 + X_3}{4}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin Cramer-Rao alt sınırına göre mutlak etkinliği ( $e(T_1)$ ) ve $T_1$ 'in $T_2$ 'ye göre göreli etkinliği ( $RE(T_1, T_2)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

*(Not: Göreli etkinlik hesaplamasında $RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)}$ eşitliğini kullanınız.)*

$e(T_1) = 1 \quad ; \quad RE(T_1, T_2) = \frac{9}{8}$ Cevap
B
$e(T_1) = 1 \quad ; \quad RE(T_1, T_2) = \frac{8}{9}$
C
$e(T_1) = 1 \quad ; \quad RE(T_1, T_2) = \frac{3}{4}$
D
$e(T_1) = \frac{\lambda}{3} \quad ; \quad RE(T_1, T_2) = \frac{9}{8}$
E
$e(T_1) = \frac{8}{9} \quad ; \quad RE(T_1, T_2) = \frac{8}{9}$

Cevap

Mutlak etkinlik

e(T_1) = 1

ve göreli etkinlik

RE(T_1, T_2) = \frac{9}{8}

değerlerini içeren seçenektir.

Poisson dağılımı için örneklem ortalaması (

T_1

) tam etkin bir tahmin edicidir, Cramer-Rao alt sınırı ile aynı varyansa (

\lambda/3

) sahiptir; bu yüzden mutlak etkinliği 1'dir.

T_2

tahmin edicisinin varyansı

\frac{3\lambda}{8}

olduğundan,

T_1

'in

T_2

'ye göre göreli etkinliği

\frac{3\lambda/8}{\lambda/3} = \frac{9}{8}

olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

X \sim Poisson(\lambda)

için

E(X) = \lambda

Var(X) = \lambda

olduğunu belirleyerek tahmin edicilerin varyanslarını hesaplayın.

Var(T_1) = \frac{1}{9}(Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3)) = \frac{3\lambda}{9} = \frac{\lambda}{3}

Var(T_2) = \frac{1}{16}(Var(X_1) + 2^2 Var(X_2) + Var(X_3)) = \frac{\lambda + 4\lambda + \lambda}{16} = \frac{6\lambda}{16} = \frac{3\lambda}{8}

Etkinlik hesaplamaları doğrudan tahmin edicilerin varyanslarına dayanmaktadır.

Poisson dağılımı için

n=3

birimlik örneklemde Cramer-Rao alt sınırını (CRLB) hesaplayın.

Tek bir gözlem için Fisher Bilgisi

I(\lambda) = \frac{1}{\lambda}

'dır.

n=3

için

I_n(\lambda) = \frac{3}{\lambda}

olur. Cramer-Rao Alt Sınırı =

\frac{1}{I_n(\lambda)} = \frac{\lambda}{3}

Mutlak etkinlik, Cramer-Rao alt sınırının tahmin edicinin varyansına oranı ile bulunur.

T_1

'in mutlak etkinliğini (

e(T_1)

) bulun.

e(T_1) = \frac{CRLB}{Var(T_1)} = \frac{\lambda/3}{\lambda/3} = 1

. (

T_1

en etkin tahmin edicidir).

Mutlak etkinlik formülünün uygulanması gerekmektedir.

T_1

'in

T_2

'ye göre göreli etkinliğini (

RE(T_1, T_2)

) hesaplayın.

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{3\lambda / 8}{\lambda / 3} = \frac{3}{8} \times \frac{3}{1} = \frac{9}{8}

Göreli etkinlik soruda verilen kurala uygun olarak varyansların oranıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Etkinliği ve Varyans Karşılaştırması

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru