Bir ilaç şirketinin ürettiği belirli bir etken maddenin tabletlerdeki miktarı, birbirinden… — KPSS İstatistik

Bir ilaç şirketinin ürettiği belirli bir etken maddenin tabletlerdeki miktarı, birbirinden bağımsız ve aynı $N(\mu, \sigma^2)$ dağılımına sahip $X_1, X_2, X_3, X_4$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Burada $\sigma^2$ bilinen bir sabittir.

Bu etken maddenin ortalama miktarını (

\mu

) tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + 2X_2 + 3X_3 + 4X_4}{10}

T_2 = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4}

Buna göre, $T_2$ tahmin edicisinin mutlak etkin olup olmadığı ve $T_1$ 'in $T_2$ 'ye göreli etkinliği $\left(eff(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)}\right)$ , sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

A
Mutlak etkindir ; $\frac{6}{5}$
B
Mutlak etkin değildir ; $\frac{5}{6}$
Mutlak etkindir ; $\frac{5}{6}$ Cevap
D
Mutlak etkin değildir ; $\frac{6}{5}$
E
Mutlak etkindir ; $\frac{1}{4}$

Cevap

Örneklem ortalaması olan T2 mutlak etkindir ve T1'in T2'ye göreli etkinliği 5/6'dır.

Normal dağılımdan gelen rastgele bir örneklemin ortalaması olan

T_2

'nin varyansı

\sigma^2/n = \sigma^2/4

'tür. Normal dağılımda

\mu

için Cramer-Rao Alt Sınırı da

\sigma^2/n

'dir; bu nedenle

T_2

varyans alt sınırına ulaştığı için 'mutlak etkin'dir.

T_1

ağırlıklı bir ortalama olup varyansı katsayıların kareleri alınarak hesaplandığında

(1^2+2^2+3^2+4^2)/100 \times \sigma^2 = 30\sigma^2/100 = 3\sigma^2/10

bulunur. İstenen göreli etkinlik formülünde oranlandığında

Var(T_2)/Var(T_1) = (1/4)/(3/10) = 10/12 = 5/6

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

T_2

tahmin edicisinin varyansını ve Cramer-Rao Alt Sınırını (CRLB) hesapla.

Var(T_2) = \frac{\sigma^2}{4}

CRLB = \frac{\sigma^2}{4}

Bir tahmin edicinin mutlak etkin olabilmesi için varyansının CRLB'ye eşit olması gerekir. Normal dağılımda ortalama için Fisher bilgisi

I(\mu) = 1/\sigma^2

n=4

için

CRLB = \sigma^2/4

'tür.

T_2

'nin mutlak etkinliğini değerlendir.

Var(T_2) = CRLB

olduğundan

T_2

mutlak etkindir.

Örneklem ortalamasının varyansı teorik minimum varyansa (alt sınıra) ulaştığı için mutlak etkindir.

T_1

tahmin edicisinin varyansını doğrusal kombinasyon kurallarına göre hesapla.

Var(T_1) = \left(\frac{1}{10}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{2}{10}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{3}{10}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{4}{10}\right)^2\sigma^2 = \frac{1+4+9+16}{100}\sigma^2 = \frac{30}{100}\sigma^2 = \frac{3}{10}\sigma^2

Bağımsız rastgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun varyansı alınırken, katsayıların kareleri çarpım olarak dışarı çıkar:

Var(aX) = a^2Var(X)

Göreli etkinlik formülünü kullanarak

eff(T_1, T_2)

oranını hesapla.

eff(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{\sigma^2 / 4}{3\sigma^2 / 10} = \frac{1}{4} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

Soruda verilen göreli etkinlik formülüne doğrudan hesaplanan varyans değerleri yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Etkinliği ve Varyans Hesaplamaları

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru