Examkin

Soru

Zorluk: ZorHata Kareler Ortalaması (MSE)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n beklenen değeri μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olan normal dağılımdan çekilmiş nn çaplı rastgele bir örneklem olsun. Kitle varyansı σ2\sigma^2 için en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) olan σ^2=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 istatistiği veriliyor.

Buna göre, σ^2\hat{\sigma}^2 tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 2n−1n2σ4\frac{2n-1}{n^2}\sigma^4Cevap
  2. B
    2(n−1)n2σ4\frac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4
  3. C
    1n2σ4\frac{1}{n^2}\sigma^4
  4. D
    2n−1σ4\frac{2}{n-1}\sigma^4
  5. E
    2nσ4\frac{2}{n}\sigma^4

Cevap

Hata Kareler Ortalaması (MSE), varyans ve yan karesinin toplamı olan 2n−1n2σ4\frac{2n-1}{n^2}\sigma^4 ifadesine eşittir.
Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının (bias) karesinin toplamı olarak tanımlanır: MSE(θ^)=Var(θ^)+[Bias(θ^)]2MSE(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2. Verilen en çok olabilirlik tahmin edicisinin varyansı 2(n−1)n2σ4\frac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4 ve yan miktarı −1nσ2-\frac{1}{n}\sigma^2'dir. Bu iki değer formülde yerine konulup toplandığında 2n−2+1n2σ4=2n−1n2σ4\frac{2n-2+1}{n^2}\sigma^4 = \frac{2n-1}{n^2}\sigma^4 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin içinde yer alan toplam istatistiğinin dağılımını belirle.
∑i=1n(Xi−Xˉ)2σ2∼χn−12\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} dağılımına sahiptir.
Beklenen değer ve varyans hesaplamalarını yapabilmek için ilgili ki-kare dağılımının özelliklerini (Beklenen değer = n-1, Varyans = 2(n-1)) kullanmak gereklidir.
2
Tahmin edicinin beklenen değerini bularak yan (bias) miktarını hesapla.
E[σ^2]=E[σ2nχn−12]=σ2n(n−1)E[\hat{\sigma}^2] = E[\frac{\sigma^2}{n} \chi^2_{n-1}] = \frac{\sigma^2}{n}(n-1). Yan (Bias) = E[σ^2]−σ2=σ2(n−1n−1)=−1nσ2E[\hat{\sigma}^2] - \sigma^2 = \sigma^2(\frac{n-1}{n} - 1) = -\frac{1}{n}\sigma^2 bulunur.
MSE formülünde yer alan Bias² bileşenini elde etmek için yan miktarının bulunması zorunludur.
3
Tahmin edicinin varyansını hesapla.
Var(σ^2)=Var(σ2nχn−12)=σ4n2Var(χn−12)=σ4n2[2(n−1)]=2(n−1)n2σ4Var(\hat{\sigma}^2) = Var(\frac{\sigma^2}{n} \chi^2_{n-1}) = \frac{\sigma^4}{n^2} Var(\chi^2_{n-1}) = \frac{\sigma^4}{n^2} [2(n-1)] = \frac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4 bulunur.
MSE formülündeki diğer ana bileşen olan varyans değerini elde etmek için.
4
Varyans ve yan miktarının karesini toplayarak MSE'yi elde et.
MSE(σ^2)=Var(σ^2)+[Bias(σ^2)]2=2(n−1)n2σ4+(−1nσ2)2=2n−2n2σ4+1n2σ4=2n−1n2σ4MSE(\hat{\sigma}^2) = Var(\hat{\sigma}^2) + [Bias(\hat{\sigma}^2)]^2 = \frac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4 + (-\frac{1}{n}\sigma^2)^2 = \frac{2n-2}{n^2}\sigma^4 + \frac{1}{n^2}\sigma^4 = \frac{2n-1}{n^2}\sigma^4.
Hata Kareler Ortalamasının (MSE) matematiksel tanımını tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalamasının (MSE) varyans ve yan (bias) bileşenlerine ayrıştırılması ve Ki-Kare dağılımı özellikleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru