Bir araştırmacı, ortalaması \mu ve varyansı \sigma^2 olan bir kitleye ait n çaplı bağımsız… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kitleye ait $n$ çaplı bağımsız rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) üzerinden $\mu$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki $T$ istatistiğini önermiştir:

T = \frac{1}{n+2} \sum_{i=1}^n X_i

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}$
B
$\frac{\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}$
$\frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}$ Cevap
D
$\frac{4\mu^2}{(n+2)^2}$
E
$\frac{n\sigma^2 + \mu^2}{(n+2)^2}$

Cevap

Doğru cevap,

T

tahmin edicisinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamı olan

\frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}

ifadesidir.

Verilen

T

tahmin edicisi için MSE hesaplaması

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

temel eşitliğine dayanır.

T

'nin varyansı

Var(T) = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}

olarak hesaplanır. Yan miktarı ise

E(T) - \mu = \frac{n\mu}{n+2} - \mu = \frac{-2\mu}{n+2}

bulunur ve bunun karesi alındığında

\frac{4\mu^2}{(n+2)^2}

elde edilir. Bu iki terimin toplanmasıyla doğru Hata Kareler Ortalaması

\frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}

biçiminde bulunur.

Adım Adım Çözüm

MSE tanımını formülize etme.

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

eşitliği yazılır.

Hata Kareler Ortalaması (MSE), daima tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan miktarını (Bias) hesaplama.

E(T) = \frac{1}{n+2} \sum E(X_i) = \frac{n\mu}{n+2}

. Buradan yan miktarı:

Bias(T) = E(T) - \mu = \frac{n\mu}{n+2} - \frac{(n+2)\mu}{n+2} = \frac{-2\mu}{n+2}

olarak bulunur.

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametrenin farkıdır.

Bulunan yan miktarının karesini alma.

[Bias(T)]^2 = \left(\frac{-2\mu}{n+2}\right)^2 = \frac{4\mu^2}{(n+2)^2}

MSE formülündeki ikinci terimi elde etmek için.

T

tahmin edicisinin varyansını hesaplama.

Var(T) = Var\left(\frac{1}{n+2} \sum X_i\right) = \frac{1}{(n+2)^2} \sum Var(X_i) = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}

Sabit katsayının karesi alınarak varyans operatörü dışına çıkarılır ve bağımsız örneklem nedeniyle varyanslar toplanır.

Varyans ve yan miktarının karesini toplayarak MSE'yi elde etme.

MSE(T) = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2} + \frac{4\mu^2}{(n+2)^2} = \frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}

MSE tanımının gerektirdiği tüm bileşenlerin nihai birleşimi.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması'nın (MSE) varyans ve yanın karesi (bias squared) cinsinden ayrıştırılması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru