Examkin

Soru

Zorluk: OrtaHata Kareler Ortalaması (MSE)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n parametresi λ\lambda olan Poisson dağılımından çekilmiş nn çaplı rastgele bir örneklem olsun. λ\lambda parametresini tahmin etmek için λ^=1n+1∑i=1nXi\hat{\lambda} = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n} X_i tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, bu tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    nλ+n2λ2(n+1)2\frac{n\lambda + n^2\lambda^2}{(n+1)^2}
  2. B
    λ2(n+1)2\frac{\lambda^2}{(n+1)^2}
  3. C
    nλ(n+1)2\frac{n\lambda}{(n+1)^2}
  4. nλ+λ2(n+1)2\frac{n\lambda + \lambda^2}{(n+1)^2}Cevap
  5. E
    λ+λ2(n+1)2\frac{\lambda + \lambda^2}{(n+1)^2}

Cevap

nλ+λ2(n+1)2\frac{n\lambda + \lambda^2}{(n+1)^2} ifadesi Hata Kareler Ortalamasıdır.
Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının (bias) karesinin toplamına eşittir. Verilen tahmin edici yansız olmadığı için hem varyans bileşeni nλ(n+1)2\frac{n\lambda}{(n+1)^2} hem de yan bileşeni −λn+1-\frac{\lambda}{n+1} mevcuttur. Bu iki değerin (varyans ve yanın karesi) toplanmasıyla nλ+λ2(n+1)2\frac{n\lambda + \lambda^2}{(n+1)^2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini hesapla ve yan (bias) miktarını bul.
E[λ^]=1n+1E[∑Xi]=nλn+1E[\hat{\lambda}] = \frac{1}{n+1} E[\sum X_i] = \frac{n\lambda}{n+1} bulunur. Yan miktarı ise Bias=E[λ^]−λ=nλn+1−λ=−λn+1Bias = E[\hat{\lambda}] - \lambda = \frac{n\lambda}{n+1} - \lambda = -\frac{\lambda}{n+1} olur.
MSE formülündeki yan miktarının karesi (Bias2Bias^2) bileşenini elde etmek için öncelikle beklenen değeri bulmalıyız.
2
Tahmin edicinin varyansını hesapla.
Var(λ^)=Var(1n+1∑Xi)=1(n+1)2Var(∑Xi)=nλ(n+1)2Var(\hat{\lambda}) = Var\left(\frac{1}{n+1} \sum X_i\right) = \frac{1}{(n+1)^2} Var(\sum X_i) = \frac{n\lambda}{(n+1)^2} olarak hesaplanır.
MSE hesaplamasında varyans temel bileşenlerden biridir. Bağımsız değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslar toplamına eşittir.
3
MSE(θ̂) = Var(θ̂) + [Bias(θ̂)]² formülünü uygula.
MSE(λ^)=nλ(n+1)2+(−λn+1)2=nλ(n+1)2+λ2(n+1)2=nλ+λ2(n+1)2MSE(\hat{\lambda}) = \frac{n\lambda}{(n+1)^2} + \left(-\frac{\lambda}{n+1}\right)^2 = \frac{n\lambda}{(n+1)^2} + \frac{\lambda^2}{(n+1)^2} = \frac{n\lambda + \lambda^2}{(n+1)^2} elde edilir.
Hata Kareler Ortalaması tanımı gereği varyans ve yan miktarının karesinin toplamı ile bulunur.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE), varyans ve yan miktarının karesi toplamıdır: MSE(θ^)=Var(θ^)+[Bias(θ^)]2MSE(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2
Bu soruyu puanla

Konular

Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru