Examkin

Soru

Zorluk: OrtaHata Kareler Ortalaması (MSE)

Bir otomotiv fabrikasında üretilen amortisörlerin dayanım süreleri normal dağılıma sahiptir. Üretim bandından rastgele seçilen nn adet amortisörün dayanım süreleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n ve örneklem ortalaması Xˉ\bar{X} olmak üzere, kitle varyansı σ2\sigma^2'yi tahmin etmek amacıyla aşağıdaki istatistik önerilmiştir:

T=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2 T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

Buna göre, TT tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 2n−1n2σ4\frac{2n-1}{n^2}\sigma^4Cevap
  2. B
    2(n−1)n2σ4\frac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4
  3. C
    1n2σ4\frac{1}{n^2}\sigma^4
  4. D
    2n−1σ4\frac{2}{n-1}\sigma^4
  5. E
    2n+1n2σ4\frac{2n+1}{n^2}\sigma^4

Cevap

2n−1n2σ4\frac{2n-1}{n^2}\sigma^4
Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamı (MSE=Var(T)+Bias2(T)MSE = Var(T) + Bias^2(T)) olarak tanımlanır. Verilen TT istatistiği için varyans bileşeni 2(n−1)n2σ4\frac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4 ve yan miktarı bileşeni −1nσ2-\frac{1}{n}\sigma^2 olarak hesaplanır. Yan miktarının karesi olan 1n2σ4\frac{1}{n^2}\sigma^4 ile varyans toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini (E(T)E(T)) hesapla.
Yansız örneklem varyansı S2=1n−1∑(Xi−Xˉ)2S^2 = \frac{1}{n-1}\sum (X_i - \bar{X})^2 için E(S2)=σ2E(S^2) = \sigma^2'dir. Verilen istatistik T=n−1nS2T = \frac{n-1}{n}S^2 şeklinde yazılabileceğinden, E(T)=n−1nσ2E(T) = \frac{n-1}{n}\sigma^2 olur.
Yan miktarını bulabilmek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değerine ihtiyaç vardır.
2
Tahmin edicinin yan miktarını (Bias(T)Bias(T)) ve karesini hesapla.
Bias(T)=E(T)−σ2=n−1nσ2−σ2=−1nσ2Bias(T) = E(T) - \sigma^2 = \frac{n-1}{n}\sigma^2 - \sigma^2 = -\frac{1}{n}\sigma^2 bulunur. Karesi alındığında Bias2(T)=1n2σ4Bias^2(T) = \frac{1}{n^2}\sigma^4 elde edilir.
MSE formülünün [Bias(T)]2[Bias(T)]^2 bileşenini belirlemek gereklidir.
3
Tahmin edicinin varyansını (Var(T)Var(T)) hesapla.
Normal dağılımda (n−1)S2σ2∼χn−12\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} olduğundan Var(S2)=2σ4n−1Var(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}'dir. Buradan Var(T)=Var(n−1nS2)=(n−1)2n22σ4n−1=2(n−1)n2σ4Var(T) = Var(\frac{n-1}{n}S^2) = \frac{(n-1)^2}{n^2} \frac{2\sigma^4}{n-1} = \frac{2(n-1)}{n^2}\sigma^4 bulunur.
MSE formülünün Var(T)Var(T) bileşenini elde etmek gereklidir.
4
MSE değerini elde etmek için varyans ile yan miktarının karesini topla.
MSE(T)=Var(T)+Bias2(T)=2n−2n2σ4+1n2σ4=2n−1n2σ4MSE(T) = Var(T) + Bias^2(T) = \frac{2n-2}{n^2}\sigma^4 + \frac{1}{n^2}\sigma^4 = \frac{2n-1}{n^2}\sigma^4 sonucuna ulaşılır.
Bir tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması, varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalamasının (MSE) varyans ve yan (bias) bileşenlerine ayrılarak hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru