Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorHata Kareler Ortalaması (MSE)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı, (0,θ)(0, \theta) aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip rastgele örneklem olsun. θ\theta parametresinin tahmini için, örneklem maksimumu X(n)=max⁡(X1,X2,…,Xn)X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) olmak üzere θ^c=c⋅X(n)\hat{\theta}_c = c \cdot X_{(n)} biçiminde bir tahmin edici sınıfı tanımlanmıştır (c>0c > 0 bir sabit).

Buna göre, Hata Kareler Ortalamasını (MSE) minimum yapan optimal cc değeri için elde edilen minimum MSE değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. θ2(n+1)2\frac{\theta^2}{(n+1)^2}Cevap
  2. B
    nθ2(n+1)2(n+2)\frac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}
  3. C
    2θ2(n+1)(n+2)\frac{2\theta^2}{(n+1)(n+2)}
  4. D
    θ2n(n+2)\frac{\theta^2}{n(n+2)}
  5. E
    θ2n\frac{\theta^2}{n}

Cevap

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) minimum yapan değer θ2(n+1)2\frac{\theta^2}{(n+1)^2} formülü ile elde edilir.
Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken MSE(θ^c)=E[(cX(n)−θ)2]MSE(\hat{\theta}_c) = E[(c X_{(n)} - \theta)^2] fonksiyonu oluşturulur. Bu fonksiyonun cc'ye göre türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde MSE'yi minimum yapan katsayının c=n+2n+1c = \frac{n+2}{n+1} olduğu bulunur. Bu optimal katsayı ana denklemde yerine konulduğunda, varyans ile yanlılığın karesinin toplamı en aza iner ve minimum MSE değeri olan θ2(n+1)2\frac{\theta^2}{(n+1)^2} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
X(n)X_{(n)} istatistiğinin birinci ve ikinci momentlerini belirle.
E[X(n)]=nn+1θE[X_{(n)}] = \frac{n}{n+1}\theta ve E[X(n)2]=nn+2θ2E[X_{(n)}^2] = \frac{n}{n+2}\theta^2
MSE hesabında kullanılacak beklenen değer ve varyans bileşenleri için momentlere ihtiyaç vardır.
2
θ^c=cX(n)\hat{\theta}_c = cX_{(n)} için Hata Kareler Ortalaması (MSE) fonksiyonunu cc'ye bağlı olarak yaz.
MSE(θ^c)=E[(cX(n)−θ)2]=c2E[X(n)2]−2cθE[X(n)]+θ2=θ2(c2nn+2−2cnn+1+1)MSE(\hat{\theta}_c) = E[(cX_{(n)} - \theta)^2] = c^2 E[X_{(n)}^2] - 2c\theta E[X_{(n)}] + \theta^2 = \theta^2 \left( c^2 \frac{n}{n+2} - 2c \frac{n}{n+1} + 1 \right)
Optimal cc değerini bulabilmek için MSE'nin bir fonksiyon olarak ifade edilmesi gerekir.
3
MSE fonksiyonunun cc'ye göre türevini alarak sıfıra eşitle ve optimal cc değerini bul.
ddcMSE=θ2(2cnn+2−2nn+1)=0  ⟹  c=n+2n+1\frac{d}{dc} MSE = \theta^2 \left( 2c \frac{n}{n+2} - 2 \frac{n}{n+1} \right) = 0 \implies c = \frac{n+2}{n+1}
Bir fonksiyonun minimum noktası, birinci türevinin sıfır olduğu noktadır.
4
Bulunan optimal c=n+2n+1c = \frac{n+2}{n+1} değerini MSE fonksiyonunda yerine koy.
MSEmin=θ2((n+2n+1)2nn+2−2(n+2n+1)nn+1+1)=θ2(n(n+2)(n+1)2−2n(n+2)(n+1)2+1)MSE_{min} = \theta^2 \left( \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^2 \frac{n}{n+2} - 2\left(\frac{n+2}{n+1}\right) \frac{n}{n+1} + 1 \right) = \theta^2 \left( \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} - \frac{2n(n+2)}{(n+1)^2} + 1 \right)
Soruda istenen değer minimum MSE değerinin kendisidir.
5
İfadeyi cebirsel olarak basitleştir.
MSEmin=θ2(1−n(n+2)(n+1)2)=θ2(n2+2n+1−n2−2n(n+1)2)=θ2(n+1)2MSE_{min} = \theta^2 \left( 1 - \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right) = \theta^2 \left( \frac{n^2+2n+1 - n^2-2n}{(n+1)^2} \right) = \frac{\theta^2}{(n+1)^2}
Seçeneklerdeki nihai formata ulaşmak için ortak payda işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalamasının (MSE) varyans ve yan (bias) dengesi üzerinden optimizasyonu
Bu soruyu puanla

Konular

Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru