Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGeometrik Dağılım

Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların %20'sinin acil müdahale gerektiren ("kırmızı alan") hastalar olduğu bilinmektedir. Hastaların gelişleri birbirinden bağımsızdır.

Doktorun muayene ettiği ilk 3 hastanın hiçbirinin acil müdahale gerektirmediği bilindiğine göre, ilk acil müdahale gerektiren hastanın tam olarak 6. sırada muayene edilme olasılığı ile ilk acil müdahale gerektiren hasta dâhil olmak üzere muayene edilecek toplam hasta sayısının varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 16125\frac{16}{125} ve 2020Cevap
  2. B
    64625\frac{64}{625} ve 2020
  3. C
    16125\frac{16}{125} ve 2525
  4. D
    102415625\frac{1024}{15625} ve 2020
  5. E
    16125\frac{16}{125} ve 55

Cevap

İlk acil hastanın 6. sırada gelme olasılığı 16125\frac{16}{125} ve toplam hasta sayısının varyansı 2020'dir.
Sorudaki rastgele değişken (X), ilk kırmızı alan hastası bulunana kadar muayene edilecek toplam hasta sayısını temsil etmektedir ve dağılımı X ~ Geometrik(p=0,20)'dir. Doktorun ilk 3 hastasının acil olmadığı bilindiğine göre (X > 3), 6. hastanın ilk acil hasta olma olasılığı bir koşullu olasılıktır. Geometrik dağılımın 'hafızasızlık (memoryless)' özelliği gereği P(X = 6 | X > 3) olasılığı P(X = 6 - 3) = P(X = 3) değerine eşittir. Bu olasılık (0,8)^2 * 0,2 = 0,128 yani 16/125 olarak bulunur. İlk başarıyı da içeren toplam deneme sayısının varyansı ise (1-p)/p^2 formülüyle hesaplanır. Varyans = 0,80 / 0,04 = 20 elde edilir. Doğru ikili 16/125 ve 20'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Rastgele değişkenin dağılımını ve başarı olasılığını belirleme
Başarı olasılığı p=0,20p = 0,20, rastgele değişken X∼Geometrik(0,20)X \sim \text{Geometrik}(0,20)
İlk başarıya (ilk kırmızı alan hastasına) kadar geçen toplam muayene edilen hasta sayısı Geometrik dağılıma uyar.
2
Hafızasızlık (memoryless) özelliğini kullanarak istenen koşullu olasılığı hesaplama
P(X=6∣X>3)=P(X=6−3)=P(X=3)=(1−0,20)3−1⋅0,20=(0,8)2⋅0,20=0,64⋅0,20=0,128=16125P(X = 6 \mid X > 3) = P(X = 6 - 3) = P(X = 3) = (1 - 0,20)^{3-1} \cdot 0,20 = (0,8)^2 \cdot 0,20 = 0,64 \cdot 0,20 = 0,128 = \frac{16}{125}
Geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir; geçmişteki başarısız denemeler, gelecek denemelerin dağılımını baştan başlıyormuş gibi etkiler.
3
Geometrik dağılımın varyans formülünü uygulama
Var(X)=1−pp2=1−0,20(0,20)2=0,800,04=20\text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{1-0,20}{(0,20)^2} = \frac{0,80}{0,04} = 20
Başarıyı içeren toplam deneme sayısı tanımlı Geometrik dağılımın varyansı her zaman 1−pp2\frac{1-p}{p^2} formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği ve Varyansı
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dağılım

Bu konudan daha fazla soru