Examkin

Soru

Zorluk: ZorGeometrik Dağılım

Bir elektrik dağıtım şirketinin kontrol merkezinde çalışan bir sistem operatörü, şebekedeki akıllı sayaçlardan gelen veri paketlerini sırasıyla ve birbirinden bağımsız olarak analiz etmektedir. Her bir veri paketinin iletişim hatası (bozulma) içerme olasılığı p=0.05p = 0.05'tir. Operatör, ilk hatalı veri paketini tespit ettiği an analiz işlemini sonlandıracaktır.

XX rastgele değişkeni, "ilk hatalı paketi bulmak için incelenen toplam paket sayısı (hatalı paket dahil)" olarak tanımlanmıştır.

Operatörün analize başladığı ve incelenen ilk 1010 paketin hiçbirinde hata bulunmadığı bilinmektedir.

Buna göre, operatörün hatalı bir paket bulana kadar inceleyeceği toplam paket sayısının beklenen değeri ile XX rastgele değişkeninin varyansı (Var(X)Var(X)) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 3030 ve 380380Cevap
  2. B
    2929 ve 380380
  3. C
    2020 ve 380380
  4. D
    3030 ve 400400
  5. E
    2929 ve 400400

Cevap

İncelenecek toplam paket sayısının beklenen değeri 3030 ve XX değişkeninin varyansı 380380'dir.
Verilen problemde XX rastgele değişkeni ilk hata bulunana kadar geçen toplam deneme sayısıdır. Geometrik dağılımın temel formüllerine göre E[X]=1p=10.05=20E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.05} = 20'dir. Geometrik dağılım, kesikli olasılık dağılımları arasında hafızasızlık (memoryless) özelliğine sahip tek dağılımdır. Bu özellik gereği P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) eşitliği sağlanır. Yani ilk 1010 denemede hata bulunamaması, 10.10. denemeden sonraki süreci sıfırdan başlıyormuş gibi etkiler. Dolayısıyla ilk 1010 denemeden sonra beklenen ilave deneme sayısı yine 2020'dir. İncelenecek toplam paket sayısının beklenen değeri ise halihazırda incelenen 1010 paket ile ilave edilecek beklenen 2020 paketin toplamı olan 3030'dur. Varyans hesabı ise tanım kümesinden bağımsız olarak Var(X)=1−pp2=0.950.0025=380Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} = \frac{0.95}{0.0025} = 380 formülüyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
XX rastgele değişkeninin dağılımını ve parametresini belirleme.
X∼Geometrik(p=0.05)X \sim \text{Geometrik}(p = 0.05) ve X∈{1,2,3,… }X \in \{1, 2, 3, \dots\}
Her bir paketin hatalı olma olasılığı bağımsız ve 0.050.05'tir. XX, ilk başarıyı (hatayı) bulana kadar yapılan toplam deneme sayısıdır.
2
Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliğini kullanarak koşullu beklenen değeri hesaplama.
E[X∣X>10]=10+E[X]E[X | X > 10] = 10 + E[X]
Geometrik dağılımda geçmişteki başarısızlıklar gelecek olasılıkları etkilemez. İlk 1010 deneme başarısız olduktan sonra, ilk başarı için gereken ilave deneme sayısının beklenen değeri yine baştaki E[X]E[X] değerine eşittir.
3
E[X]E[X] değerini formül ile hesaplayarak koşullu denklemi çözme.
E[X]=1p=10.05=20E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.05} = 20. Toplam beklenen paket =10+20=30= 10 + 20 = 30.
Toplam deneme sayısını ifade eden geometrik dağılımda beklenen değer 1p\frac{1}{p} formülü ile bulunur.
4
XX rastgele değişkeninin varyansını hesaplama.
Var(X)=1−pp2=1−0.050.052=0.950.0025=380Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} = \frac{1 - 0.05}{0.05^2} = \frac{0.95}{0.0025} = 380.
Geometrik dağılımın varyansı, tanım kümesinden (kk veya k−1k-1) bağımsız olarak her iki durumda da 1−pp2\frac{1-p}{p^2} formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği ve Momentleri
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dağılım

Bu konudan daha fazla soru