Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorGeometrik Dağılım

Bir fabrikadaki kalite kontrol uzmanı, üretim hattından çıkan ürünleri kusurlu bir ürün bulana kadar sırasıyla ve bağımsız olarak incelemektedir. Bir ürünün kusurlu olma olasılığı p=0,25p = 0,25'tir.

Uzmanın ilk kusurlu ürünü bulana kadar incelediği toplam ürün sayısı (kusurlu ürün dâhil) YY rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. İnceleme sürecinin toplam maliyeti, M(Y)=5Y2+10Y+20M(Y) = 5Y^2 + 10Y + 20 (TL) fonksiyonu ile modellenmektedir.

Uzman ilk 2 ürünü incelemiş ve ikisinin de kusursuz olduğunu görmüştür.

Buna göre, bu inceleme sürecinin beklenen toplam maliyeti kaç TL'dir?

  1. A
    200
  2. B
    255
  3. C
    260
  4. 320Cevap
  5. E
    540

Cevap

İnceleme sürecinin beklenen toplam maliyeti 320 TL'dir.
Soruda ilk kusurlu ürünü bulana kadar incelenen toplam ürün sayısı YY olarak verilmiştir. Bu nedenle YY, başarı olasılığı p=0,25p=0,25 olan ve k∈{1,2,3,...}k \in \{1, 2, 3, ...\} değerlerini alan Geometrik dağılıma sahiptir. İlgili momentler E[Y]=4E[Y]=4 ve E[Y2]=28E[Y^2]=28 şeklindedir. İlk 2 ürünün kusursuz çıkması Y>2Y > 2 koşulunu yaratır. Geometrik dağılımın hafızasızlık özelliği (memoryless property) kullanıldığında, koşullu durumda Y∣Y>2∼Yyeni+2Y \mid Y > 2 \sim Y_{yeni} + 2 eşitliği sağlanır. Bu durumda koşullu anlar E[Y∣Y>2]=4+2=6E[Y \mid Y > 2] = 4+2=6 ve E[Y2∣Y>2]=E[(Y+2)2]=28+16+4=48E[Y^2 \mid Y > 2] = E[(Y+2)^2] = 28 + 16 + 4 = 48 olarak hesaplanır. Beklenen toplam maliyet ise 5(48)+10(6)+20=3205(48) + 10(6) + 20 = 320 TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Rastgele değişkenin dağılımını ve koşulsuz beklenen değerlerini (anlarını) belirleme.
Y∼Geo(p=0,25)Y \sim Geo(p=0,25) ve Y∈{1,2,3,...}Y \in \{1, 2, 3, ...\} olduğu tespit edilir. E[Y]=1p=4E[Y] = \frac{1}{p} = 4 ve Var(Y)=1−pp2=12Var(Y) = \frac{1-p}{p^2} = 12 olduğundan, varyans formülünden E[Y2]=Var(Y)+(E[Y])2=12+16=28E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 12 + 16 = 28 bulunur.
Maliyet fonksiyonunun beklentisini hesaplayabilmek için YY'nin birinci ve ikinci momentlerine ihtiyaç vardır.
2
Hafızasızlık özelliğini kullanarak verilen duruma ait koşullu anları hesaplama.
İlk 2 ürünün kusursuz olması Y>2Y > 2 durumunu ifade eder. Geometrik dağılımın hafızasızlık özelliği gereği Y∣Y>2∼Yyeni+2Y \mid Y>2 \sim Y_{yeni} + 2 eşitliği sağlanır. Buradan E[Y∣Y>2]=E[Yyeni]+2=4+2=6E[Y \mid Y>2] = E[Y_{yeni}] + 2 = 4 + 2 = 6 ve E[Y2∣Y>2]=E[(Yyeni+2)2]=E[Yyeni2]+4E[Yyeni]+4=28+4(4)+4=48E[Y^2 \mid Y>2] = E[(Y_{yeni}+2)^2] = E[Y_{yeni}^2] + 4E[Y_{yeni}] + 4 = 28 + 4(4) + 4 = 48 elde edilir.
Sürecin halihazırda 2 ürün incelenmiş olarak devam ettiği bilindiği için genel maliyet beklentisi bu koşullu bilgiye göre güncellenmelidir.
3
Koşullu beklenen maliyet fonksiyonunu hesaplama.
E[M(Y)∣Y>2]=5⋅E[Y2∣Y>2]+10⋅E[Y∣Y>2]+20=5(48)+10(6)+20=240+60+20=320E[M(Y) \mid Y>2] = 5 \cdot E[Y^2 \mid Y>2] + 10 \cdot E[Y \mid Y>2] + 20 = 5(48) + 10(6) + 20 = 240 + 60 + 20 = 320 TL sonucu bulunur.
Bulunan koşullu anlar, doğrusal kombinasyon şeklindeki maliyet fonksiyonunda yerine konularak nihai beklenen maliyet elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dağılımın momentleri ve hafızasızlık (memoryless) özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dağılım

Bu konudan daha fazla soru