Bir siber güvenlik uzmanı, bir sisteme sızma testi (penetrasyon) uygularken her bir deneme… — KPSS İstatistik

Bir siber güvenlik uzmanı, bir sisteme sızma testi (penetrasyon) uygularken her bir denemesinde güvenlik duvarını aşma olasılığı $p = \frac{1}{3}$ olan birbirinden bağımsız girişimlerde bulunmaktadır.

$X$ rastgele değişkeni, güvenlik duvarının ilk kez başarıyla aşıldığı ana kadar yapılan toplam deneme sayısını;
$Y$ rastgele değişkeni ise ilk başarılı girişime kadar yaşanan başarısız deneme sayısını temsil etmektedir.

İlk 2 denemenin başarısız olduğu bilindiğine göre; sistemin tam olarak 5. denemede (toplam 5. girişimde) aşılma olasılığı, $Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[Y]$ ) ve $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$\frac{4}{27}$ , $2$ , $6$ Cevap
B
$\frac{8}{81}$ , $3$ , $6$
C
$\frac{4}{27}$ , $2$ , $2$
D
$\frac{16}{243}$ , $2$ , $6$
E
$\frac{16}{243}$ , $3$ , $9$

Cevap

Sistemin 5. denemede aşılma olasılığı

\frac{4}{27}

, başarısız deneme sayısının beklenen değeri

2

ve toplam deneme sayısının varyansı

6

'dır.

Soruda istenilen değerler Geometrik dağılımın temel özellikleri yardımıyla adım adım bulunabilir. İlk olarak, Geometrik dağılımın en önemli özelliği olan hafızasızlık özelliği kullanıldığında

P(X=5 | X>2) = P(X=3)

olur. Formülde yerine konulduğunda

(1-1/3)^{3-1} \cdot (1/3) = (2/3)^2 \cdot (1/3) = 4/27

bulunur. İkinci olarak,

Y

(başarısızlık sayısı) değişkeninin beklenen değeri

E[Y] = (1-p)/p = (2/3)/(1/3) = 2

olarak hesaplanır. Üçüncü olarak,

X

'in varyansı standart Geometrik dağılım varyans formülü olan

(1-p)/p^2 = (2/3)/(1/9) = 6

ile bulunur. Bu üç değeri doğru veren seçenek aranan yanıttır.

Adım Adım Çözüm

Koşullu olasılığı hesaplamak için Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliğini uygulama.

P(X=5 | X>2) = P(X = 5 - 2) = P(X=3)

Geometrik dağılım hafızasızdır; geçmişteki başarısız denemeler, gelecekteki başarı olasılığını etkilemez. Süreç 3. denemeden itibaren baştan başlıyormuş gibi düşünülür.

P(X=3)

olasılığını

p = 1/3

için Geometrik dağılım formülü ile hesaplama.

P(X=3) = (1-p)^{3-1} \cdot p = (2/3)^2 \cdot (1/3) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}

İlk başarının 3. denemede gerçekleşmesi, ilk 2 denemenin başarısız, 3. denemenin başarılı olması demektir.

İlk başarılı girişime kadar geçen başarısız deneme sayısı olan

Y

'nin beklenen değerini (

E[Y]

) hesaplama.

Y = X - 1

olduğundan,

E[Y] = E[X] - 1 = \frac{1}{p} - 1 = \frac{1-p}{p} = \frac{2/3}{1/3} = 2

Toplam deneme sayısının beklenen değeri

E[X] = 1/p = 3

'tür. Son deneme başarılı olduğuna göre, başarısız denemelerin beklenen değeri bundan 1 eksiktir.

X

rastgele değişkeninin varyansını (

Var(X)

) standart formülü kullanarak hesaplama.

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{2/3}{(1/3)^2} = \frac{2/3}{1/9} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6

Geometrik dağılımda (

X

toplam deneme sayısı ise) varyans formülü

\frac{1-p}{p^2}

'dir.

Var(X)

ile

Var(Y)

aynıdır, değişkenlere sabit sayı eklemek veya çıkarmak varyansı değiştirmez.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği, Beklenen Değer ve Varyans Kavramları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru