Geometrik Dağılım Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir siber güvenlik uzmanı, bir sisteme sızma testi (penetrasyon) uygularken her bir denemesinde güvenlik duvarını aşma olasılığı $p = \frac{1}{3}$ olan birbirinden bağımsız girişimlerde bulunmaktadır.

$X$ rastgele değişkeni, güvenlik duvarının ilk kez başarıyla aşıldığı ana kadar yapılan toplam deneme sayısını;
$Y$ rastgele değişkeni ise ilk başarılı girişime kadar yaşanan başarısız deneme sayısını temsil etmektedir.

İlk 2 denemenin başarısız olduğu bilindiğine göre; sistemin tam olarak 5. denemede (toplam 5. girişimde) aşılma olasılığı, $Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[Y]$ ) ve $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\frac{4}{27}

,

2

,

6

\frac{8}{81}

,

3

,

6

\frac{4}{27}

,

2

,

2

\frac{16}{243}

,

2

,

6

\frac{16}{243}

,

3

,

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{27}$ , $2$ , $6$

Cevap

Sistemin 5. denemede aşılma olasılığı

\frac{4}{27}

, başarısız deneme sayısının beklenen değeri

2

ve toplam deneme sayısının varyansı

6

'dır.

Soruda istenilen değerler Geometrik dağılımın temel özellikleri yardımıyla adım adım bulunabilir. İlk olarak, Geometrik dağılımın en önemli özelliği olan hafızasızlık özelliği kullanıldığında

P(X=5 | X>2) = P(X=3)

olur. Formülde yerine konulduğunda

(1-1/3)^{3-1} \cdot (1/3) = (2/3)^2 \cdot (1/3) = 4/27

bulunur. İkinci olarak,

Y

(başarısızlık sayısı) değişkeninin beklenen değeri

E[Y] = (1-p)/p = (2/3)/(1/3) = 2

olarak hesaplanır. Üçüncü olarak,

X

'in varyansı standart Geometrik dağılım varyans formülü olan

(1-p)/p^2 = (2/3)/(1/9) = 6

ile bulunur. Bu üç değeri doğru veren seçenek aranan yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu olasılığı hesaplamak için Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliğini uygulama.

P(X=5 | X>2) = P(X = 5 - 2) = P(X=3)

Geometrik dağılım hafızasızdır; geçmişteki başarısız denemeler, gelecekteki başarı olasılığını etkilemez. Süreç 3. denemeden itibaren baştan başlıyormuş gibi düşünülür.

2

P(X=3)

olasılığını

p = 1/3

için Geometrik dağılım formülü ile hesaplama.

P(X=3) = (1-p)^{3-1} \cdot p = (2/3)^2 \cdot (1/3) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}

İlk başarının 3. denemede gerçekleşmesi, ilk 2 denemenin başarısız, 3. denemenin başarılı olması demektir.

3

İlk başarılı girişime kadar geçen başarısız deneme sayısı olan

Y

'nin beklenen değerini (

E[Y]

) hesaplama.

Y = X - 1

olduğundan,

E[Y] = E[X] - 1 = \frac{1}{p} - 1 = \frac{1-p}{p} = \frac{2/3}{1/3} = 2

Toplam deneme sayısının beklenen değeri

E[X] = 1/p = 3

'tür. Son deneme başarılı olduğuna göre, başarısız denemelerin beklenen değeri bundan 1 eksiktir.

4

X

rastgele değişkeninin varyansını (

Var(X)

) standart formülü kullanarak hesaplama.

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{2/3}{(1/3)^2} = \frac{2/3}{1/9} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6

Geometrik dağılımda (

X

toplam deneme sayısı ise) varyans formülü

\frac{1-p}{p^2}

'dir.

Var(X)

ile

Var(Y)

aynıdır, değişkenlere sabit sayı eklemek veya çıkarmak varyansı değiştirmez.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği, Beklenen Değer ve Varyans Kavramları

Soru 2Soru →

Bir fabrikadaki kalite kontrol uzmanı, üretim hattından çıkan ürünleri kusurlu bir ürün bulana kadar sırasıyla ve bağımsız olarak incelemektedir. Bir ürünün kusurlu olma olasılığı $p = 0,25$ 'tir.

Uzmanın ilk kusurlu ürünü bulana kadar incelediği toplam ürün sayısı (kusurlu ürün dâhil) $Y$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. İnceleme sürecinin toplam maliyeti, $M(Y) = 5Y^2 + 10Y + 20$ (TL) fonksiyonu ile modellenmektedir.

Uzman ilk 2 ürünü incelemiş ve ikisinin de kusursuz olduğunu görmüştür.

Buna göre, bu inceleme sürecinin beklenen toplam maliyeti kaç TL'dir?

200

255

260

320

540

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 320

Cevap

İnceleme sürecinin beklenen toplam maliyeti 320 TL'dir.

Soruda ilk kusurlu ürünü bulana kadar incelenen toplam ürün sayısı

Y

olarak verilmiştir. Bu nedenle

Y

, başarı olasılığı

p=0,25

olan ve

k \in \{1, 2, 3, ...\}

değerlerini alan Geometrik dağılıma sahiptir. İlgili momentler

E[Y]=4

ve

E[Y^2]=28

şeklindedir. İlk 2 ürünün kusursuz çıkması

Y > 2

koşulunu yaratır. Geometrik dağılımın hafızasızlık özelliği (memoryless property) kullanıldığında, koşullu durumda

Y \mid Y > 2 \sim Y_{yeni} + 2

eşitliği sağlanır. Bu durumda koşullu anlar

E[Y \mid Y > 2] = 4+2=6

ve

E[Y^2 \mid Y > 2] = E[(Y+2)^2] = 28 + 16 + 4 = 48

olarak hesaplanır. Beklenen toplam maliyet ise

5(48) + 10(6) + 20 = 320

TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenin dağılımını ve koşulsuz beklenen değerlerini (anlarını) belirleme.

Y \sim Geo(p=0,25)

ve

Y \in \{1, 2, 3, ...\}

olduğu tespit edilir.

E[Y] = \frac{1}{p} = 4

ve

Var(Y) = \frac{1-p}{p^2} = 12

olduğundan, varyans formülünden

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 12 + 16 = 28

bulunur.

Maliyet fonksiyonunun beklentisini hesaplayabilmek için

Y

'nin birinci ve ikinci momentlerine ihtiyaç vardır.

2

Hafızasızlık özelliğini kullanarak verilen duruma ait koşullu anları hesaplama.

İlk 2 ürünün kusursuz olması

Y > 2

durumunu ifade eder. Geometrik dağılımın hafızasızlık özelliği gereği

Y \mid Y>2 \sim Y_{yeni} + 2

eşitliği sağlanır. Buradan

E[Y \mid Y>2] = E[Y_{yeni}] + 2 = 4 + 2 = 6

ve

E[Y^2 \mid Y>2] = E[(Y_{yeni}+2)^2] = E[Y_{yeni}^2] + 4E[Y_{yeni}] + 4 = 28 + 4(4) + 4 = 48

elde edilir.

Sürecin halihazırda 2 ürün incelenmiş olarak devam ettiği bilindiği için genel maliyet beklentisi bu koşullu bilgiye göre güncellenmelidir.

3

Koşullu beklenen maliyet fonksiyonunu hesaplama.

E[M(Y) \mid Y>2] = 5 \cdot E[Y^2 \mid Y>2] + 10 \cdot E[Y \mid Y>2] + 20 = 5(48) + 10(6) + 20 = 240 + 60 + 20 = 320

TL sonucu bulunur.

Bulunan koşullu anlar, doğrusal kombinasyon şeklindeki maliyet fonksiyonunda yerine konularak nihai beklenen maliyet elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dağılımın momentleri ve hafızasızlık (memoryless) özelliği

Soru 3Soru →

Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların %20'sinin acil müdahale gerektiren ("kırmızı alan") hastalar olduğu bilinmektedir. Hastaların gelişleri birbirinden bağımsızdır.

Doktorun muayene ettiği ilk 3 hastanın hiçbirinin acil müdahale gerektirmediği bilindiğine göre, ilk acil müdahale gerektiren hastanın tam olarak 6. sırada muayene edilme olasılığı ile ilk acil müdahale gerektiren hasta dâhil olmak üzere muayene edilecek toplam hasta sayısının varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{16}{125}

ve

20

\frac{64}{625}

ve

20

\frac{16}{125}

ve

25

\frac{1024}{15625}

ve

20

\frac{16}{125}

ve

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{16}{125}$ ve $20$

Cevap

İlk acil hastanın 6. sırada gelme olasılığı

\frac{16}{125}

ve toplam hasta sayısının varyansı

20

'dir.

Sorudaki rastgele değişken (X), ilk kırmızı alan hastası bulunana kadar muayene edilecek toplam hasta sayısını temsil etmektedir ve dağılımı X ~ Geometrik(p=0,20)'dir. Doktorun ilk 3 hastasının acil olmadığı bilindiğine göre (X > 3), 6. hastanın ilk acil hasta olma olasılığı bir koşullu olasılıktır. Geometrik dağılımın 'hafızasızlık (memoryless)' özelliği gereği P(X = 6 | X > 3) olasılığı P(X = 6 - 3) = P(X = 3) değerine eşittir. Bu olasılık (0,8)^2 * 0,2 = 0,128 yani 16/125 olarak bulunur. İlk başarıyı da içeren toplam deneme sayısının varyansı ise (1-p)/p^2 formülüyle hesaplanır. Varyans = 0,80 / 0,04 = 20 elde edilir. Doğru ikili 16/125 ve 20'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenin dağılımını ve başarı olasılığını belirleme

Başarı olasılığı

p = 0,20

, rastgele değişken

X \sim \text{Geometrik}(0,20)

İlk başarıya (ilk kırmızı alan hastasına) kadar geçen toplam muayene edilen hasta sayısı Geometrik dağılıma uyar.

2

Hafızasızlık (memoryless) özelliğini kullanarak istenen koşullu olasılığı hesaplama

P(X = 6 \mid X > 3) = P(X = 6 - 3) = P(X = 3) = (1 - 0,20)^{3-1} \cdot 0,20 = (0,8)^2 \cdot 0,20 = 0,64 \cdot 0,20 = 0,128 = \frac{16}{125}

Geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir; geçmişteki başarısız denemeler, gelecek denemelerin dağılımını baştan başlıyormuş gibi etkiler.

3

Geometrik dağılımın varyans formülünü uygulama

\text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{1-0,20}{(0,20)^2} = \frac{0,80}{0,04} = 20

Başarıyı içeren toplam deneme sayısı tanımlı Geometrik dağılımın varyansı her zaman

\frac{1-p}{p^2}

formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği ve Varyansı

Soru 4Soru →

Bir gümrük muhafaza memuru, yurtdışından gelen kargoları yasadışı madde tespiti amacıyla sırasıyla ve birbirinden bağımsız olarak incelemektedir. Her bir kargonun şüpheli olma olasılığı sabittir. Memurun ilk şüpheli kargoyu bulana kadar incelediği toplam kargo sayısını ifade eden rastgele değişkenin beklenen değeri $3$ 'tür.

Memur, mesaisinin başında ilk $2$ kargoyu incelemiş ve herhangi bir şüpheli duruma rastlamamıştır.

Buna göre, memurun ilk şüpheli kargoyu tam olarak $5.$ kargoda bulma olasılığı ile inceleyeceği toplam kargo sayısının varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{27}{256}

ve

12

\frac{16}{243}

ve

6

\frac{4}{27}

ve

6

\frac{4}{27}

ve

9

\frac{80}{243}

ve

\frac{10}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{27}$ ve $6$

Cevap

Doğru yanıt olasılığın

\frac{4}{27}

ve varyansın

6

olduğu seçenektir.

Soruda rastgele değişken, 'ilk şüpheli kargoyu bulana kadar incelenen toplam kargo sayısı' (

X \in \{1, 2, 3, \dots\}

) olarak tanımlanmıştır. Beklenen değer

E[X] = \frac{1}{p} = 3

olduğundan

p = \frac{1}{3}

olur. Varyans formülü

Var(X) = \frac{1-p}{p^2}

kullanıldığında

Var(X) = \frac{2/3}{1/9} = 6

bulunur. Olasılık hesabı için geometrik dağılımın temel özelliği olan hafızasızlık (memoryless) ilkesi kullanılır. İlk 2 kargonun şüpheli olmadığı bilindiği için

P(X = 5 \mid X > 2) = P(X = 5 - 2) = P(X = 3)

olur. Formülde yerine konulduğunda

P(X = 3) = (1 - \frac{1}{3})^{3-1} \cdot (\frac{1}{3}) = (\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkenini ve başarı olasılığını (

p

) tanımlayın.

X

, ilk şüpheli kargoyu bulana kadar incelenen toplam kargo sayısıdır ve

X \sim \text{Geo}(p)

dağılımına uyar.

E[X] = \frac{1}{p} = 3

verildiğinden,

p = \frac{1}{3}

bulunur.

Geometrik dağılımda toplam deneme sayısı tanımlandığında beklenen değer formülü

E[X] = \frac{1}{p}

şeklindedir.

2

X

'in varyansını (

Var(X)

) hesaplayın.

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{2/3}{1/9} = 6

elde edilir.

Toplam deneme sayısını modelleyen geometrik dağılımın varyans formülü

\frac{1-p}{p^2}

'dir.

3

İlk 2 kargoda şüpheli durum bulunmadığı bilgisine (

X > 2

) dayanarak tam

5.

kargoda şüpheli bulma olasılığını yazın.

İstenen olasılık koşullu bir olasılıktır:

P(X = 5 \mid X > 2)

.

Mesainin başındaki ilk 2 incelemenin başarısız (şüpheli değil) olduğu bilinmektedir.

4

Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliğini kullanarak koşullu olasılığı hesaplayın.

P(X = 5 \mid X > 2) = P(X = 5 - 2) = P(X = 3)

.

P(X = 3) = (1-p)^{3-1}p = (1 - \frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3}) = (\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}

bulunur.

Geometrik dağılım, kesikli rastgele değişkenler arasında hafızasızlık özelliğine sahip tek dağılımdır:

P(X = s+t \mid X > s) = P(X = t)

.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği ve Momentleri

Soru 5Soru →

Bir elektrik dağıtım şirketinin kontrol merkezinde çalışan bir sistem operatörü, şebekedeki akıllı sayaçlardan gelen veri paketlerini sırasıyla ve birbirinden bağımsız olarak analiz etmektedir. Her bir veri paketinin iletişim hatası (bozulma) içerme olasılığı $p = 0.05$ 'tir. Operatör, ilk hatalı veri paketini tespit ettiği an analiz işlemini sonlandıracaktır.

$X$ rastgele değişkeni, "ilk hatalı paketi bulmak için incelenen toplam paket sayısı (hatalı paket dahil)" olarak tanımlanmıştır.

Operatörün analize başladığı ve incelenen ilk $10$ paketin hiçbirinde hata bulunmadığı bilinmektedir.

Buna göre, operatörün hatalı bir paket bulana kadar inceleyeceği toplam paket sayısının beklenen değeri ile $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

30

ve

380

29

ve

380

20

ve

380

30

ve

400

29

ve

400

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $30$ ve $380$

Cevap

İncelenecek toplam paket sayısının beklenen değeri

30

ve

X

değişkeninin varyansı

380

'dir.

Verilen problemde

X

rastgele değişkeni ilk hata bulunana kadar geçen toplam deneme sayısıdır. Geometrik dağılımın temel formüllerine göre

E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.05} = 20

'dir. Geometrik dağılım, kesikli olasılık dağılımları arasında hafızasızlık (memoryless) özelliğine sahip tek dağılımdır. Bu özellik gereği

P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)

eşitliği sağlanır. Yani ilk

10

denemede hata bulunamaması,

10.

denemeden sonraki süreci sıfırdan başlıyormuş gibi etkiler. Dolayısıyla ilk

10

denemeden sonra beklenen ilave deneme sayısı yine

20

'dir. İncelenecek toplam paket sayısının beklenen değeri ise halihazırda incelenen

10

paket ile ilave edilecek beklenen

20

paketin toplamı olan

30

'dur. Varyans hesabı ise tanım kümesinden bağımsız olarak

Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} = \frac{0.95}{0.0025} = 380

formülüyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin dağılımını ve parametresini belirleme.

X \sim \text{Geometrik}(p = 0.05)

ve

X \in \{1, 2, 3, \dots\}

Her bir paketin hatalı olma olasılığı bağımsız ve

0.05

'tir.

X

, ilk başarıyı (hatayı) bulana kadar yapılan toplam deneme sayısıdır.

2

Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliğini kullanarak koşullu beklenen değeri hesaplama.

E[X | X > 10] = 10 + E[X]

Geometrik dağılımda geçmişteki başarısızlıklar gelecek olasılıkları etkilemez. İlk

10

deneme başarısız olduktan sonra, ilk başarı için gereken ilave deneme sayısının beklenen değeri yine baştaki

E[X]

değerine eşittir.

3

E[X]

değerini formül ile hesaplayarak koşullu denklemi çözme.

E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.05} = 20

. Toplam beklenen paket

= 10 + 20 = 30

.

Toplam deneme sayısını ifade eden geometrik dağılımda beklenen değer

\frac{1}{p}

formülü ile bulunur.

4

X

rastgele değişkeninin varyansını hesaplama.

Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} = \frac{1 - 0.05}{0.05^2} = \frac{0.95}{0.0025} = 380

.

Geometrik dağılımın varyansı, tanım kümesinden (

k

veya

k-1

) bağımsız olarak her iki durumda da

\frac{1-p}{p^2}

formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği ve Momentleri

Soru 6Soru →

Bir ziraat mühendisi, ıslah edilen yeni bir mısır türüne ait tohumların çimlenme oranını incelemektedir. Tohumların her birinin çimlenme olasılığı $0,25$ olup her bir tohumun çimlenme durumu diğerlerinden bağımsızdır. Mühendis, ilk çimlenen tohumu tespit edene kadar tohumları sırasıyla ekmeye devam etmektedir.

İlk çimlenen tohumun kaçıncı denemede elde edildiğini gösteren rastgele değişken $X$ olduğuna göre, bu değişkenin beklenen değeri $E[X]$ kaçtır?

3

4

12

15

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İlk çimlenen tohumun kaçıncı denemede elde edildiğini gösteren rastgele değişkenin beklenen değeri 4'tür.

Rastgele değişken

X

, ilk başarının elde edildiği deneme sayısı olarak tanımlandığında, beklenen değer

1/p

formülü ile hesaplanır. Soruda verilen

p=0,25

değeri yerine konulduğunda

1/0,25 = 4

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünü ve parametresini belirleme

Başarı olasılığı

p = 0,25

olan bağımsız denemeler ilk başarıya kadar sürdüğü için

X

değişkeni Geometrik Dağılım gösterir.

Geometrik dağılım, belirli bir başarı olasılığına sahip bağımsız Bernoulli denemelerinde ilk başarının elde edilmesine kadar geçen süreci modeller.

2

Rastgele değişkenin tanım kümesini ve beklenen değer formülünü tespit etme

X

değişkeni 'deneme sayısı' olarak tanımlandığı için

X \in \{1, 2, 3, ...\}

olur ve

E[X] = \frac{1}{p}

formülü kullanılır.

Eğer değişken 'başarıdan önceki başarısızlık sayısı' olarak tanımlansaydı formül

\frac{1-p}{p}

olurdu; ancak burada deneme sayısı sorulmaktadır.

3

Hesaplama işlemini gerçekleştirme

E[X] = \frac{1}{0,25} = 4

Sayısal değerlerin formülde yerine konulması sonucunda ortalama deneme sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımda Beklenen Değer

İpuçları

1

Bu problemde her deneme bağımsızdır ve ilk başarıya kadar devam etmektedir; bu durum Geometrik Dağılımı işaret eder.

2

Deneme sayısını (

1, 2, ...

) temel alan Geometrik Dağılımda beklenen değer

1/p

şeklindedir.

Daha Fazla Pratik

Aynı verilerle varyansın (

Var(X)

) kaç olacağını hesaplayarak pekiştirme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 7Soru →

Bir fabrikada üretilen parçaların her birinin kusurlu olma olasılığı $p = 0,1$ olarak hesaplanmıştır. Üretilen parçalar, ilk kusurlu parça bulunana kadar birbirinden bağımsız olarak sırasıyla kontrol edilmektedir. $X$ rastgele değişkeni, ilk kusurlu parçanın bulunduğu "toplam deneme sayısını" ifade etmektedir. Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri $E[X]$ aşağıdakilerden hangisidir?

10

9

1

0,1

90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Toplam deneme sayısını temsil eden geometrik rastgele değişkenin beklenen değeri 10'dur.

Geometrik dağılımda, ilk başarı (kusurlu ürün) elde edilene kadar yapılan toplam deneme sayısını ifade eden rastgele değişkenin beklenen değeri

1/p

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen

p = 0,1

değeri formülde yerine konulduğunda

1 / 0,1 = 10

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım tipini ve parametreyi belirleyin.

Başarı olasılığı

p = 0,1

olan Geometrik Dağılım.

İlk başarıya kadar yapılan bağımsız denemeler geometrik dağılım modeline uygundur.

2

Rastgele değişkenin tanım kümesini kontrol edin.

X \in \{1, 2, 3, \dots\}

Soruda

X

değişkeninin 'toplam deneme sayısı' olduğu belirtilmiştir.

3

Beklenen değer formülünü uygulayın.

E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0,1} = 10

Toplam deneme sayısını temel alan geometrik dağılımın beklenen değeri parametrenin çarpmaya göre tersidir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılım Beklenen Değeri

Soru 8Soru →

Bir yazılım test uzmanı, bir sistemdeki kritik bir hatayı tespit etmek için birbirlerinden bağımsız test senaryoları çalıştırmaktadır. Her bir test senaryosunun hatayı tespit etme olasılığı $p = 0,20$ ’dir. Uzmanın ilk $8$ denemesinde hatayı bulamadığı bilindiğine göre, bu noktadan itibaren hatayı bulana kadar yapması beklenen ek deneme sayısı kaçtır?

4

5

8

13

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Beklenen ek deneme sayısı 5'tir.

Geometrik dağılım, 'hafızasızlık' (memoryless) özelliğine sahip tek kesikli olasılık dağılımıdır. Bu özellik gereği,

n

kadar denemede başarı elde edilememiş olması, bundan sonraki denemelerin dağılımını etkilemez. Dolayısıyla, beklenen ek deneme sayısı, en baştaki beklenen değer olan

1/p

ifadesine eşittir.

p = 0,20

olduğu için

1 / 0,20 = 5

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünün belirlenmesi

Geometrik Dağılım

Bağımsız Bernoulli denemelerinde ilk başarıya kadar geçen deneme sayısı Geometrik dağılım gösterir.

2

Hafızasızlık (Memoryless) özelliğinin uygulanması

E[X - n | X > n] = E[X]

Geometrik dağılımda geçmişteki başarısız denemeler, gelecekteki başarı olasılığını ve beklenen ek deneme sayısını etkilemez.

3

Beklenen değer formülünün uygulanması

E[X] = 1/p = 1 / 0,20 = 5

Toplam deneme sayısı için beklenen değer başarı olasılığının çarpmaya göre tersidir.

Anahtar Kavram

Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliği

Soru 9Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yürütülen bir saha araştırmasında, rastgele seçilen bir hanehalkının ankete katılmayı kabul etme olasılığı $p = 0,25$ olarak belirlenmiştir. Hanelerin ankete katılım kararlarının birbirinden bağımsız olduğu varsayılmaktadır. Bir anketör, ankete katılmayı kabul eden ilk haneye ulaşana kadar hane ziyaretlerine devam etmektedir. $X$ rastgele değişkeni "ilk kabulün alındığı toplam hane sayısı" olarak tanımlandığına göre, ilk 3 hanenin ankete katılmayı reddettiği bilindiği durumda, anketörün ilk kabulü toplamda 5. hanede alma olasılığı kaçtır?

0,1875

0,0791

0,1406

0,2500

0,1055

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,1875$

Cevap

İlk 3 hanenin reddettiği bilindiğinde, ilk kabulün 5. hanede gerçekleşme olasılığı

0,1875

olarak hesaplanır.

Geometrik dağılım hafızasız bir dağılımdır. Soruda ilk 3 hanenin reddettiği (

X > 3

) verilmiştir. Bu durumda toplamda 5. hanede kabul alma olasılığı, sürecin 3. haneden sonra yeniden başladığı varsayımıyla 2 deneme sonra başarı elde etme olasılığına (

P(X=2)

) eşittir.

0,75 \times 0,25 = 0,1875

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın ve parametrelerin belirlenmesi

X \sim \text{Geo}(p=0,25)

ve

q = 1 - 0,25 = 0,75

İlk başarıya kadar geçen deneme sayısı Geometrik dağılım ile modellenir.

2

Hafızasızlık (Memoryless) özelliğinin uygulanması

P(X = 5 | X > 3) = P(X = 5 - 3) = P(X = 2)

Geometrik dağılımda geçmişteki başarısız denemeler gelecek denemelerin olasılığını etkilemez.

3

Olasılık kütle fonksiyonu yardımıyla hesaplama yapılması

P(X=2) = q^{2-1} \times p = 0,75^1 \times 0,25 = 0,1875

2. denemedeki ilk başarı olasılığı, 1 başarısızlık ve 1 başarı gerektirir.

Anahtar Kavram

Geometrik dağılımın hafızasızlık özelliği gereği

P(X = n+k | X > n) = P(X = k)

eşitliği sağlanır. Ayrıca bu dağılım için

E[X] = 1/p = 4

ve

\text{Var}(X) = q/p^2 = 0,75/0,0625 = 12

değerleri hesaplanabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Bir kargo dağıtım merkezinde, paketlerin üzerindeki barkodların hatalı okunma olasılığı her paket için $0,04$ olarak belirlenmiştir. Barkod okuma işlemlerinin birbirinden bağımsız olduğu varsayıldığında, ilk hatalı okumanın gerçekleştiği toplam paket sayısının beklenen değeri (matematiksel umudu) kaçtır?

0,04

4

24

25

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

İlk hatalı okumanın gerçekleştiği toplam paket sayısının beklenen değeri 25'tir.

Geometrik dağılımda ilk başarının elde edildiği toplam deneme sayısı için beklenen değer

E[X] = 1/p

olarak tanımlanır. Verilen başarı olasılığı

p = 0,04

yerine koyulduğunda, beklenen paket sayısı

1 / 0,04 = 25

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin hangi olasılık dağılımına uygun olduğunu belirleyin.

Belirli bir olasılığa sahip bir olayın (başarı) ilk kez gerçekleşene kadar yapılan bağımsız denemeler dizisi Geometrik dağılım ile modellenir. Burada başarı olasılığı

p = 0,04

olarak verilmiştir.

Soru, ilk başarının (hatalı okuma) kaçıncı denemede gerçekleşeceğine dair beklenen değeri sormaktadır.

2

Rastgele değişkenin tanımını ve uygun formülü seçin.

Rastgele değişken

X

, 'toplam paket sayısı' olarak tanımlandığı için

X \in \{1, 2, 3, \dots\}

destek kümesine sahiptir. Bu tanım için beklenen değer formülü

E[X] = \frac{1}{p}

şeklindedir.

Geometrik dağılımda eğer değişken 'ilk başarıya kadar geçen başarısızlık sayısı' (

0, 1, 2, \dots

) olarak tanımlansaydı formül

\frac{1-p}{p}

olurdu. Soru kökünde toplam paket sayısı istendiği için

1/p

kullanılır.

3

Hesaplamayı gerçekleştirin.

E[X] = \frac{1}{0,04} = \frac{100}{4} = 25

.

Beklenen değer, başarı olasılığının çarpmaya göre tersidir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımda Beklenen Değer ve Tanım Kümesi İlişkisi

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Bir fabrikadaki kalite kontrol birimi, üretim bandından çıkan elektronik parçaları kusurlu bir parça bulana kadar sırasıyla test etmektedir. Her bir parçanın kusurlu olma olasılığı birbirinden bağımsız ve sabittir. İlk kusurlu parçanın bulunması için gereken toplam test sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir.

Test sürecinin toplam maliyeti $M = 2X + 10$ (TL) olarak modellenmiştir ve bu maliyetin varyansı $Var(M) = 24$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kalite kontrol sürecinde test edilen ilk 3 parçanın sağlam olduğu bilindiğine göre, ilk kusurlu parçanın tam olarak 6. testte bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{4}{27}

\frac{9}{64}

\frac{8}{81}

\frac{4}{9}

\frac{32}{729}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{27}$

Cevap

Doğru yanıt, hafızasızlık özelliği kullanılarak elde edilen \frac{4}{27} olasılığını veren seçenektir.

Sorunun çözümünde iki temel istatistiksel özellik bir arada kullanılmalıdır. Öncelikle, maliyetin varyansından parça kusur olasılığı p bulunmalıdır.

Var(2X+10) = 2^2 Var(X) = 4Var(X) = 24

eşitliğinden

Var(X)=6

elde edilir. Toplam deneme sayısını modelleyen Geometrik dağılımın varyans formülü

\frac{1-p}{p^2} = 6

şeklinde kurularak

p=1/3

hesaplanır. İkinci aşamada, ilk 3 parçanın sağlam olduğu bilgisi ışığında 6. parçanın kusurlu olma koşullu olasılığı olan

P(X=6 \mid X>3)

istenmektedir. Geometrik dağılımın temel özelliği olan hafızasızlık (memoryless) kuralı uyarınca bu olasılık

P(X=3)

'e eşittir. Olasılık kütle fonksiyonu uygulanarak

(1 - 1/3)^{3-1} \cdot (1/3) = \frac{4}{27}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans özelliklerini kullanarak X'in varyansını hesaplama

Var(M) = Var(2X + 10) = 4Var(X) = 24 denkleminden Var(X) = 6 bulunur.

Maliyet fonksiyonundaki doğrusal dönüşümün varyansa etkisini doğru ayrıştırmak için Var(aX+b) = a^2Var(X) kuralı uygulanmalıdır.

2

Geometrik dağılımın varyans formülünden başarı olasılığını (p) bulma

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = 6 denklemi çözülerek 6p^2 + p - 1 = 0 elde edilir. Köklerden pozitif olan p = 1/3 bulunur.

X, ilk başarıya (kusurlu ürün) kadar geçen toplam deneme sayısı olduğundan p parametresi varyans üzerinden hesaplanmalıdır.

3

Koşullu olasılık ifadesini basitleştirme

P(X = 6 \mid X > 3) ifadesi, Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliği gereği P(X = 6 - 3) = P(X = 3) şekline dönüşür.

Geometrik dağılım hafızasızdır; geçmişteki başarısız denemeler, gelecekteki başarı olasılığı dağılımını etkilemez.

4

İstenen olasılığı hesaplama

P(X = 3) = (1 - p)^{3-1}p = (1 - 1/3)^2(1/3) = (2/3)^2(1/3) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27} elde edilir.

Tam olarak k. denemede ilk başarının elde edilme olasılığı P(X = k) = (1-p)^{k-1}p formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımda Hafızasızlık Özelliği ve Varyans

Soru 12Soru →

Bir kamu kurumunun otomasyon sisteminde, yapılan her bir veri tabanı sorgusunun başarılı olma olasılığı birbirinden bağımsız ve sabittir. İlk başarılı sorgunun elde edilmesi için yapılması gereken toplam sorgu sayısı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmiştir ve $X$ 'in Geometrik dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Sistem analiz raporlarına göre, $X$ değişkeninin varyansı, beklenen değerinin 4 katına eşittir.

Buna göre, sisteme art arda yapılan ilk 3 sorgunun başarısız olduğu bilindiğine göre, ilk başarılı sorgunun tam olarak 6. denemede gerçekleşme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{16}{125}

\frac{64}{625}

\frac{27}{256}

\frac{4}{125}

\frac{1024}{15625}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{16}{125}$

Cevap

İlk 3 denemenin başarısız olması koşulunda 6. denemede başarı elde edilmesi olasılığı

\frac{16}{125}

'tir.

Geometrik dağılımın toplam deneme sayısı tanımına göre

E[X] = 1/p

ve

Var(X) = (1-p)/p^2

dir. Bu eşitlikten

p = 1/5

(başarı olasılığı) bulunur. İstenen

P(X = 6 \mid X > 3)

koşullu olasılığı, dağılımın hafızasızlık özelliği (memoryless property) gereği

P(X = 3)

'e eşittir. Formülde yerine konulduğunda

q^{x-1}p = (4/5)^2 \cdot (1/5) = 16/125

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

'in tanımından yola çıkarak beklenen değer ve varyans formüllerini yazma

E[X] = \frac{1}{p}

ve

Var(X) = \frac{1-p}{p^2}

X

, ilk başarı için gereken toplam deneme sayısıdır (tanım kümesi

x \ge 1

).

2

Verilen varyans ve beklenen değer ilişkisini kullanarak başarı olasılığını (

p

) bulma

\frac{1-p}{p^2} = 4 \left(\frac{1}{p}\right) \implies \frac{1-p}{p} = 4 \implies 1-p = 4p \implies 5p = 1 \implies p = \frac{1}{5}

Soruda varyansın, beklenen değerin 4 katı olduğu net olarak verilmiştir.

3

İstenen koşullu olasılığı matematiksel olarak ifade etme ve hafızasızlık özelliğini (memoryless property) uygulama

P(X = 6 \mid X > 3) = P(X = 6 - 3) = P(X = 3)

Geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir. İlk 3 başarısızlık geçmişte kalmıştır ve sürecin baştan başlamasıyla eşdeğerdir.

4

Geometrik dağılım fonksiyonu ile

P(X = 3)

değerini hesaplama

P(X = 3) = (1-p)^{3-1} p = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \frac{1}{5} = \frac{16}{25} \cdot \frac{1}{5} = \frac{16}{125}

Toplam deneme sayısı 3 olduğunda, ilk 2 deneme başarısız (

q^2

) ve 3. deneme başarılıdır (

p

).

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılım ve Hafızasızlık Özelliği

Alternatif Yöntem

Hafızasızlık özelliğini kullanmadan genel koşullu olasılık formülü ile de çözüm yapılabilir:

P(X = 6 \mid X > 3) = \frac{P(X = 6 \cap X > 3)}{P(X > 3)} = \frac{P(X = 6)}{P(X > 3)} = \frac{q^5 \cdot p}{q^3} = q^2 \cdot p = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{16}{125}

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 13Soru →

Bir siber güvenlik uzmanı, bir sunucuya yapılan izinsiz erişim denemelerini incelemektedir. Sisteme yapılan her bir denemenin başarılı olma (sisteme sızma) olasılığı $p = \frac{1}{4}$ olup, denemeler birbirinden bağımsızdır.

$X$ rastgele değişkeni, ilk başarılı sızma gerçekleşene kadar yapılan toplam deneme sayısını (başarılı sızma dâhil) ifade etmektedir.

Sistemin ilk $2$ denemede sızmaya karşı güvenliğini koruduğu (denemelerin başarısız olduğu) bilindiğine göre; ilk başarılı sızmanın gerçekleşmesi için toplamda en az $5$ deneme yapılması olasılığı, $X$ değişkeninin beklenen değeri ( $E[X]$ ) ve varyansı ( $Var[X]$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\frac{9}{16} \quad ; \quad 3 \quad ; \quad 12

\frac{27}{64} \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 12

\frac{9}{16} \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 12

\frac{27}{64} \quad ; \quad 3 \quad ; \quad 16

\frac{81}{256} \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{16} \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 12$

Cevap

İstenilen olasılık

\frac{9}{16}

, beklenen değer

4

ve varyans

12

'dir.

Geometrik dağılımda

X

toplam deneme sayısını ifade ettiğinde beklenen değer

E[X] = \frac{1}{p} = 4

, varyans ise

Var[X] = \frac{1-p}{p^2} = 12

olarak hesaplanır. İstenilen olasılık ise, hafızasızlık özelliği kullanılarak

P(X \ge 5 \mid X > 2) = P(X > 4 \mid X > 2) = P(X > 2) = (1-p)^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}

şeklinde doğru olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenin dağılımını ve parametrelerini belirleme.

X \sim Geo(p = \frac{1}{4})

,

p

başarı (sızma) olasılığıdır.

X

, ilk başarıya kadar geçen toplam deneme sayısıdır (başarı dâhil).

2

Geometrik dağılım için beklenen değer ve varyans formüllerini uygulama.

E[X] = \frac{1}{p} = 4

ve

Var[X] = \frac{1-p}{p^2} = \frac{3/4}{(1/4)^2} = \frac{3/4}{1/16} = 12

.

Toplam deneme sayısını modelleyen geometrik dağılımın temel moment formülleri kullanılmıştır.

3

İstenen olasılığı koşullu olasılık olarak ifade etme.

Sorulan olasılık:

P(X \ge 5 \mid X > 2)

.

İlk 2 denemenin başarısız olduğu (

X > 2

) biliniyor ve toplamda en az 5 deneme yapılması (

X \ge 5

) isteniyor.

4

Hafızasızlık özelliğini veya doğrudan koşullu olasılık formülünü kullanarak hesaplama yapma.

Hafızasızlık özelliği ile:

P(X \ge 5 \mid X > 2) = P(X > 4 \mid X > 2) = P(X > 4 - 2) = P(X > 2) = (1-p)^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}

.

Geometrik dağılımın hafızasızlık özelliği

P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)

şeklindedir. Doğrudan yolla da

\frac{P(X > 4)}{P(X > 2)} = \frac{(3/4)^4}{(3/4)^2} = \frac{9}{16}

sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Özellikleri ve Hafızasızlık

Soru 14Soru →

Bir vergi müfettişi, rastgele seçilen kurumlar vergisi beyannamelerini sırasıyla incelemektedir. İncelediği her bir beyannamenin usulsüz (hatalı) olma olasılığı $\frac{1}{6}$ 'dır ve her inceleme birbirinden bağımsızdır.

Müfettişin ilk usulsüz beyannameyi bulana kadar incelediği toplam beyanname sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir.

Müfettişin incelediği ilk 3 beyannamede herhangi bir usulsüzlük bulamadığı bilindiğine göre, ilk usulsüz beyannameyi tam olarak 6. incelemesinde bulma olasılığı ile $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{125}{216}

ve

36

\frac{25}{216}

ve

30

\frac{5}{36}

ve

30

\frac{125}{216}

ve

30

\frac{25}{216}

ve

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{25}{216}$ ve $30$

Cevap

İlk usulsüz beyannamenin 6. incelemede bulunma olasılığı

\frac{25}{216}

ve varyans değeri

30

'dur.

Geometrik dağılımda

X

, ilk başarıya kadar gerçekleştirilen toplam deneme sayısıdır. Dağılımın parametresi

p = \frac{1}{6}

'dır. Geometrik dağılımın temel özelliklerinden biri olan hafızasızlık (memoryless) özelliği gereği, geçmişte yaşanan başarısızlıklar geleceği etkilemez:

P(X > x+y \mid X > x) = P(X > y)

. Soruda ilk 3 denemede başarı olmadığı (

X > 3

) bilindiğinde, ilk başarının 6. denemede gelme olasılığı

P(X=6 \mid X>3) = P(X=3)

'e eşittir. Bu değer formülde yerine konulduğunda

P(X=3) = (1 - \frac{1}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}

olarak bulunur. Toplam deneme sayısını ifade eden geometrik dağılımın varyans formülü ise

Var(X) = \frac{1-p}{p^2}

'dir. Değerler yerine yazıldığında varyans

\frac{5/6}{(1/6)^2} = 30

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin dağılımını ve parametresini belirleme

X \sim Geo(p)

olup

p = \frac{1}{6}

'dır.

İlk başarıya (usulsüzlük bulmaya) kadar yapılan toplam deneme sayısı geometrik dağılıma uyar.

2

İstenen olasılığı hafızasızlık (memoryless) özelliğini kullanarak basitleştirme

P(X=6 \mid X>3) = P(X = 6-3) = P(X=3)

Geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir, yani geçmiş başarısızlıklar gelecekteki başarı olasılığını etkilemez.

3

P(X=3)

olasılığını hesaplama

P(X=3) = (1 - \frac{1}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}

Geometrik dağılımda

k

. denemede ilk başarının elde edilme olasılığı

(1-p)^{k-1} \cdot p

'dir.

4

X

rastgele değişkeninin varyansını hesaplama

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{5/6}{(1/6)^2} = \frac{5/6}{1/36} = 30

Toplam deneme sayısını modelleyen geometrik dağılımın varyans formülü

\frac{1-p}{p^2}

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği ve Varyansı

Geometrik Dağılım

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar