Bir elektronik fabrikasında üretilen mikroçiplerin belirli bir yükleme altındaki maksimum … — KPSS İstatistik

Bir elektronik fabrikasında üretilen mikroçiplerin belirli bir yükleme altındaki maksimum çalışma gerilimi $X$ (volt cinsinden) rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ parametresi için aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2(\theta - x)}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitle içinden seçilen $n$ birimlik bir örneklemin ortalaması olan $\bar{X}$ istatistiği, $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla kullanılmaktadır. Buna göre, $\bar{X}$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{(8n+1)\theta^2}{18n}$ Cevap
B
$\frac{\theta^2}{18n}$
C
$\frac{(2n+1)\theta^2}{18n}$
D
$\frac{(8n+1)\theta^2}{18}$
E
$\frac{(n+8)\theta^2}{18n}$

Cevap

\frac{(8n+1)\theta^2}{18n}

Yapılan hesaplamalar sonucunda kitlenin varyansının

\theta^2/18

, tahmin edicinin yan miktarının ise

-2\theta/3

olduğu görülmüştür.

MSE = Var + Bias^2

formülüne göre bu değerler yerine konulduğunda

((8n+1)\theta^2)/(18n)

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Kitlenin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayınız.

E[X] = \int_{0}^{\theta} x \frac{2(\theta - x)}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{\theta x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{\theta} = \frac{2}{\theta^2} \left( \frac{\theta^3}{2} - \frac{\theta^3}{3} \right) = \frac{\theta}{3}

Yan (bias) miktarını belirlemek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değeri (

E[\bar{X}] = E[X]

) bulunmalıdır.

Kitlenin varyansını (

Var(X)

) hesaplayınız.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \frac{2(\theta - x)}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{\theta x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^{\theta} = \frac{\theta^2}{6}

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{6} - \left(\frac{\theta}{3}\right)^2 = \frac{3\theta^2 - 2\theta^2}{18} = \frac{\theta^2}{18}

MSE hesaplamasında kullanılacak olan varyans bileşenini bulmak gerekir.

\bar{X}

tahmin edicisinin yan (bias) miktarını ve varyansını bulunuz.

Bias(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{\theta}{3} - \theta = -\frac{2\theta}{3}

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{\theta^2}{18n}

Örneklem ortalamasının özellikleri kitle özelliklerinden türetilir.

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygulayınız.

MSE(\bar{X}) = Var(\bar{X}) + [Bias(\bar{X})]^2 = \frac{\theta^2}{18n} + \left(-\frac{2\theta}{3}\right)^2 = \frac{\theta^2}{18n} + \frac{4\theta^2}{9} = \frac{\theta^2 + 8n\theta^2}{18n} = \frac{(8n+1)\theta^2}{18n}

MSE, tahmin edicinin hem değişkenliğini (varyans) hem de doğruluğunu (yan) ölçen birleşik bir kriterdir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) = Varyans + (Yan)^2

Daha Fazla Pratik

Farklı bir tahmin edici olarak

T = 3\bar{X}

istatistiğinin yansız olup olmadığını kontrol edip MSE değerini hesaplayarak karşılaştırma yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Konular

Bu konudan daha fazla soru