Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu

Çok boyutlu veri analizinde, bir x\mathbf{x} gözlem vektörünün pp değişkenli normal dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır. Dağılımın parametreleri olan kütle merkezini temsil eden vektör μ\boldsymbol{\mu} ve değişkenler arası ilişkileri gösteren pozitif tanımlı matris Σ\boldsymbol{\Sigma} ile ifade edilmektedir.

Buna göre, bu dağılıma ait olasılık yoğunluk fonksiyonunun (f(x)f(\mathbf{x})) matematiksel formu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. A
    (2π)−1/2∣Σ∣−1/2exp⁡(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))(2\pi)^{-1/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} \exp\left( -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right)
  2. B
    (2π)−p/2[iz(Σ)]−1/2exp⁡(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))(2\pi)^{-p/2} [iz(\boldsymbol{\Sigma})]^{-1/2} \exp\left( -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right)
  3. (2π)−p/2∣Σ∣−1/2exp⁡(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))(2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} \exp\left( -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right)Cevap
  4. D
    (2π)−p/2∣Σ∣−1/2exp⁡(−12(x−μ)TΣ(x−μ))(2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} \exp\left( -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right)
  5. E
    (2π)−p/2∣Σ∣−1/2exp⁡(−12Σ−1(x−μ)T(x−μ))(2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} \exp\left( -\frac{1}{2} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right)

Cevap

Yoğunluk fonksiyonu, normalleştirme sabitinde (2π)−p/2∣Σ∣−1/2(2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} çarpanlarını ve üssel kısımda −1/2-1/2 katsayılı (x−μ)TΣ−1(x−μ)(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) karesel formunu içeren matematiksel ifadedir.
Çok değişkenli normal dağılımın yoğunluk fonksiyonunda normalleştirme sabiti, her bir boyut için (2π)−1/2(2\pi)^{-1/2} olmak üzere toplam (2π)−p/2(2\pi)^{-p/2} ve kovaryans matrisinin determinantının ters karekökü ∣Σ∣−1/2|\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} çarpımından oluşur. Üssel terim ise −12-\frac{1}{2} katsayısıyla, x\mathbf{x} ile μ\boldsymbol{\mu} arasındaki Mahalanobis uzaklığının karesi olan (x−μ)TΣ−1(x−μ)(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) karesel formunu içermelidir.

Adım Adım Çözüm

1
Normalleştirme sabitinin yapısını belirleme
Sabit kısım (2π)−p/2∣Σ∣−1/2(2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} olarak bulunur.
pp boyutlu uzayda, 2π2\pi'nin kuvveti boyut sayısına bağlı olarak −p/2-p/2 olmalı ve hacimsel yayılımı yansıtması için kovaryans matrisinin determinantı kullanılmalıdır.
2
Üssel terim içindeki karesel formu (uzaklık ölçüsünü) belirleme
Karesel form (x−μ)TΣ−1(x−μ)(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) olarak ifade edilir.
Çok değişkenli yapıda, değişkenler arası korelasyonu da hesaba katan Mahalanobis uzaklığının karesi kullanılmalıdır ve doğru matris boyutu eşleşmesi için bu çarpım sırası şarttır.
3
Parçaları birleştirerek fonksiyonu oluşturma
Tüm terimler çarpılarak nihai f(x)f(\mathbf{x}) formülü elde edilir.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu, normalleştirme sabiti ile üssel (eksponansiyel) fonksiyonun çarpımından meydana gelir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu ve Parametre Yapısı
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru