Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu

X\mathbf{X}, ortalama vektörü μ\boldsymbol{\mu} ve pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma} olan pp-boyutlu bir rassal vektördür. Bu vektör, çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğuna göre, X\mathbf{X} vektörünün ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x)f(\mathbf{x}) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. f(x)=1(2π)p/2∣Σ∣1/2exp⁡(−12(x−μ)′Σ−1(x−μ))f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right)Cevap
  2. B
    f(x)=1(2π)p/2[iz(Σ)]1/2exp⁡(−12(x−μ)′Σ−1(x−μ))f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{p/2} [\text{iz}(\boldsymbol{\Sigma})]^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right)
  3. C
    f(x)=1(2π)p∣Σ∣exp⁡(−12(x−μ)′Σ−1(x−μ))f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{p} |\boldsymbol{\Sigma}|} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right)
  4. D
    f(x)=1(2π)p/2∣Σ∣1/2exp⁡(−12(x−μ)′Σ(x−μ))f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right)
  5. E
    f(x)=∏i=1p[12πσiiexp⁡(−(xi−μi)22σii)]f(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^p \left[ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_{ii}}} \exp\left(-\frac{(x_i-\mu_i)^2}{2\sigma_{ii}}\right) \right]

Cevap

Çok değişkenli normal dağılımın doğru olasılık yoğunluk fonksiyonu, paydasında (2π)p/2∣Σ∣1/2(2\pi)^{p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2} çarpanını bulunduran ve üstel kısmında Mahalanobis uzaklığı karesini, yani (x−μ)′Σ−1(x−μ)(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu}) ifadesini içeren seçenektir.
Çok değişkenli normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu iki temel kısımdan oluşur: Dağılımın toplam hacmini 1 yapan (2π)p/2∣Σ∣1/2(2\pi)^{p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2} normalleştirme sabiti ve rassal vektörün merkeze uzaklığını kovaryans yapısına göre ağırlıklandıran −12(x−μ)′Σ−1(x−μ)-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu}) üstel karesel formu (Mahalanobis uzaklığı). Doğru seçenek bu yapıyı eksiksiz ve hatasız olarak veren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Çok değişkenli normal dağılımın bileşenlerini belirleme
Dağılım pp boyutlu olduğu için, formülde pp boyutlu ortalama vektörü (μ\boldsymbol{\mu}) ve p×pp \times p boyutlu varyans-kovaryans matrisi (Σ\boldsymbol{\Sigma}) kullanılır.
Dağılımın merkezini ve değişkenler arası ilişki yapısını tanımlamak için bu parametreler şarttır.
2
Normalleştirme sabitini formüle etme
Sabit kısım 1(2π)p/2∣Σ∣1/2\frac{1}{(2\pi)^{p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}} olarak elde edilir.
Tek değişkenli durumdaki karekök içindeki 2πσ22\pi\sigma^2 ifadesi, pp boyutlu uzayda (2π)p(2\pi)^p ve matris determinantı ∣Σ∣|\boldsymbol{\Sigma}| değerlerinin kareköküne dönüşür.
3
Üstel karesel formu (Mahalanobis uzaklığı) oluşturma
Üstel fonksiyonun içine −12(x−μ)′Σ−1(x−μ)-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu}) karesel formu yazılır.
Değişkenlerin ortalamadan uzaklıklarını birbirleri arasındaki kovaryans yapılarına göre standartlaştırmak için matrisin tersi (Σ−1\boldsymbol{\Sigma}^{-1}) kullanılır.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılım Yoğunluk Fonksiyonu Yapısı
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru