Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu

Bir üretim tesisinde üretilen parçaların kalite kontrol sürecinde, her bir parça üzerinden pp adet farklı ölçüm yapılmakta ve bu ölçümler X\mathbf{X} rasgele vektörü ile temsil edilmektedir. X\mathbf{X} vektörünün, ortalama vektörü μ\boldsymbol{\mu} ve pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma} olan çok değişkenli normal dağılıma uyduğu bilinmektedir.

Kalite kontrol mühendisinin parçaların olasılık yoğunluklarını hesaplayabilmesi için kullanması gereken yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. f(x)=(2π)−p/2∣Σ∣−1/2e−12(x−μ)⊤Σ−1(x−μ)f(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} e^{-\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})}Cevap
  2. B
    f(x)=(2π)−p/2(iz(Σ))−1/2e−12(x−μ)⊤Σ−1(x−μ)f(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-p/2} (\text{iz}(\boldsymbol{\Sigma}))^{-1/2} e^{-\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})}
  3. C
    f(x)=(2π)−p/2∣Σ∣1/2e−12(x−μ)⊤Σ−1(x−μ)f(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2} e^{-\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})}
  4. D
    f(x)=(2π)−p/2∣Σ∣−1/2e−12(x−μ)⊤Σ(x−μ)f(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} e^{-\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^\top \boldsymbol{\Sigma} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})}
  5. E
    f(x)=(2π)−1/2∣Σ∣−1/2e−12(x−μ)⊤Σ−1(x−μ)f(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-1/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} e^{-\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})}

Cevap

Doğru olasılık yoğunluk fonksiyonu, normalleştirme sabitinde varyans-kovaryans matrisinin determinantının ters karekökünü ve üstel kısmında kovaryans matrisinin tersini içeren seçenektir.
Çok değişkenli normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu iki temel kısımdan oluşur. İlki, dağılımın uzaydaki toplam hacmini 1'e eşitleyen ve hem boyuta (pp) hem de değişkenler arası ilişkiye (∣Σ∣|\boldsymbol{\Sigma}|) bağlı olan (2π)−p/2∣Σ∣−1/2(2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} normalleştirme sabitidir. İkincisi ise gözlemin ortalamadan uzaklığını kovaryans yapısını dikkate alarak ölçen Mahalanobis uzaklığına dayalı üstel kısımdır. Doğru seçenek bu matematiksel yapıyı eksiksiz yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Çok değişkenli normal dağılımın temel bileşenlerini tanımlamak.
pp boyutlu dağılımda normalleştirme sabiti ve üstel fonksiyon olmak üzere iki ana kısım bulunur.
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun uzay üzerindeki integralinin 1'e eşit olmasını sağlamak için yapı doğru kurulmalıdır.
2
Normalleştirme sabitini pp boyuta ve kovaryans matrisine göre oluşturmak.
Sabit terim (2π)−p/2∣Σ∣−1/2(2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} olarak bulunur.
Her bir boyut için 2π\sqrt{2\pi} çarpanı gelir ve değişkenler arası ilişkiyi ölçeklemek için varyans-kovaryans matrisinin determinantının kareköküne bölünür.
3
Üstel kısımdaki uzaklık ölçüsünü ifade etmek.
Üstel terim exp⁡(−12(x−μ)⊤Σ−1(x−μ))\exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right) şeklindedir.
Çok değişkenli yapıda ortalamadan sapmalar, değişkenler arası kovaryansı dikkate alan Mahalanobis uzaklığı karesi ile ölçülür.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru