Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu

Bir araştırma kapsamında incelenen pp değişkenli bir sistemde, X\mathbf{X} rassal vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonuna ait üssel (eksponansiyel) çarpan aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

g(x)=exp⁡(−12(x−μ)′Σ−1(x−μ))g(\mathbf{x}) = \exp\left( -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^\prime \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right)

Bu ifadenin tüm uzay üzerinde integrali alındığında 11 sonucunu vermesi ve geçerli bir pp boyutlu çok değişkenli normal dağılım yoğunluk fonksiyonu belirtebilmesi için, g(x)g(\mathbf{x}) fonksiyonunun bir cc normalleştirme sabiti ile çarpılması gerekmektedir.

Buna göre, μ\boldsymbol{\mu} ortalama vektörünü ve Σ\boldsymbol{\Sigma} pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrisini göstermek üzere, aranan cc normalleştirme sabiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (2π)−p/2∣Σ∣−1/2(2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2}Cevap
  2. B
    (2π)−p/2[iz(Σ)]−1/2(2\pi)^{-p/2} [\text{iz}(\boldsymbol{\Sigma})]^{-1/2}
  3. C
    (2π)−p/2∣Σ∣1/2(2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}
  4. D
    (2π)−1/2∣Σ∣−p/2(2\pi)^{-1/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-p/2}
  5. E
    (2π)−p∣Σ∣−1(2\pi)^{-p} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1}

Cevap

Aranan normalleştirme sabiti (2π)−p/2∣Σ∣−1/2(2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} ifadesidir.
Çok değişkenli normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun integrali tüm uzay üzerinden alındığında 1 sonucunu vermelidir. Bu koşulu sağlayan normalleştirme sabiti, çok boyutlu uzayı yansıtan (2π)−p/2(2\pi)^{-p/2} terimi ile, değişkenlerin oluşturduğu ortak hacmi ölçeklendiren varyans-kovaryans matrisinin determinantının karekökünün tersi olan ∣Σ∣−1/2|\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} teriminin çarpımından oluşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun temel özelliğini hatırlamak.
Geçerli bir dağılım için fonksiyonun tüm uzay üzerindeki integralinin 11 olması gerektiği kuralı belirlenir.
Normalleştirme sabiti, eksponansiyel terimin integral sonucunu 1'e eşitlemek için kullanılan katsayıdır.
2
pp boyutlu uzayda π\pi sabitinin üssünü saptamak.
Her bir boyut (değişken) için normal dağılımdan gelen 2π\sqrt{2\pi} çarpanı paydada yer alır. Toplamda (2π)p/2(2\pi)^{p/2} değeri paydada, yani (2π)−p/2(2\pi)^{-p/2} şeklinde denkleme girer.
Birbirinden bağımsız standart normal dağılımların ortak hacimsel sabitini oluşturmak için bu üs gereklidir.
3
Varyans-kovaryans matrisinin etkisini ölçeklendirmek.
Değişkenler arasındaki korelasyonu ve yayılımı ifade eden Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisinin genel değişim hacmi determinantı ile ölçülür. Bu hacmi ölçeklendirmek için paydada karekök içinde determinant yer almalıdır: ∣Σ∣−1/2|\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2}.
Dönüşüm Jakobiyeni (Jacobian) kullanılarak yapılan değişken değiştirmede, kovaryans matrisinin determinantının karekökü sabite yansır.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru