Examkin

Soru

Zorluk: KolayMoment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi

Kamu kurumlarındaki veri işleme süreçlerini analiz eden bir istatistik uzmanı, XX rastgele değişkeni için moment çıkaran fonksiyonu MX(t)M_X(t) olarak belirlemiştir. Veri standardizasyonu çalışmaları kapsamında bu değişken Y=4X+7Y = 4X + 7 şeklinde bir doğrusal dönüşüme tabi tutulmuştur. Buna göre, yeni oluşturulan YY değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MY(t)M_Y(t)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. e7tMX(4t)e^{7t} M_X(4t)Cevap
  2. B
    4MX(t)+74 M_X(t) + 7
  3. C
    e7tMX(t)e^{7t} M_X(t)
  4. D
    MX(4t)+7M_X(4t) + 7
  5. E
    e4tMX(7t)e^{4t} M_X(7t)

Cevap

Dönüşüm altındaki moment çıkaran fonksiyon e7tMX(4t)e^{7t} M_X(4t) olarak elde edilir.
Moment çıkaran fonksiyonların en temel özelliklerinden biri doğrusal dönüşümler altındaki davranışıdır. Y=aX+bY = aX + b şeklindeki bir dönüşümde, MY(t)=ebtMX(at)M_Y(t) = e^{bt} M_X(at) kuralı geçerlidir. Soruda a=4a=4 ve b=7b=7 değerleri verildiği için bu kural doğrudan uygulanarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
YY değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu tanımını yazınız.
MY(t)=E[etY]M_Y(t) = E[e^{tY}]
Moment çıkaran fonksiyonun temel tanımı beklenen değer üzerindedir.
2
Y=4X+7Y = 4X + 7 dönüşümünü tanımda yerine koyunuz.
MY(t)=E[et(4X+7)]M_Y(t) = E[e^{t(4X + 7)}]
YY değişkeni XX cinsinden ifade edilerek XX'in moment fonksiyonuna ulaşılmaya çalışılır.
3
Üstel fonksiyon özelliklerini kullanarak ifadeyi düzenleyiniz.
MY(t)=E[e4tX⋅e7t]M_Y(t) = E[e^{4tX} \cdot e^{7t}]
ea+b=ea⋅ebe^{a+b} = e^a \cdot e^b kuralı uygulanır.
4
Beklenen değerin lineerlik özelliğini kullanarak sabit terimi dışarı alınız.
MY(t)=e7tE[e(4t)X]M_Y(t) = e^{7t} E[e^{(4t)X}]
e7te^{7t} terimi XX değişkeninden bağımsız bir sabit olduğu için beklenen değer dışına çarpan olarak çıkar.
5
Son ifadeyi XX değişkeninin moment fonksiyonu cinsinden yazınız.
MY(t)=e7tMX(4t)M_Y(t) = e^{7t} M_X(4t)
E[e(4t)X]E[e^{(4t)X}] ifadesi, MX(t)M_X(t) fonksiyonunda tt yerine 4t4t yazılmasına karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Doğrusal Dönüşüm Altında MGF Özelliği

Daha Fazla Pratik

Bağımsız iki değişkenin toplamının moment fonksiyonunun, bu değişkenlerin ayrı ayrı moment fonksiyonlarının çarpımına eşit olduğu özelliğini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi