X sürekli rastgele değişkeni (-2, 2) aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Y = |X… — KPSS İstatistik

$X$ sürekli rastgele değişkeni $(-2, 2)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. $Y = |X|$ olarak tanımlanan rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu $F_Y(y)$ , $0 < y < 2$ aralığı için aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{y}{2}$ Cevap
B
$\frac{y}{4}$
C
$\frac{y+2}{4}$
D
$y$
E
$\frac{y^2}{4}$

Cevap

Rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu

\frac{y}{2}

olarak bulunur.

Verilen

X \sim U(-2, 2)

dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu

1/4

değerindedir.

Y = |X|

dönüşümü yapıldığında,

Y \le y

olması durumu

X

değişkeninin

-y

ile

y

arasında olması anlamına gelir. Bu aralıkta yapılan integral işlemi

\frac{y - (-y)}{4} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

X

değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirle.

f_X(x) = \frac{1}{2 - (-2)} = \frac{1}{4}, \quad -2 < x < 2

X

değişkeni belirtilen aralıkta düzgün dağılıma sahiptir.

Y

değişkeni için birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) tanımını yaz.

F_Y(y) = P(Y \le y) = P(|X| \le y)

Birikimli dağılım fonksiyonu, değişkenin belirli bir değerden küçük veya eşit olma olasılığıdır.

Mutlak değer eşitsizliğini

X

cinsinden ifade et ve integrali kur.

P(-y \le X \le y) = \int_{-y}^{y} \frac{1}{4} dx

|X| \le y

eşitsizliği

-y \le X \le y

aralığına karşılık gelir.

İntegral işlemini tamamla.

F_Y(y) = \left[ \frac{x}{4} \right]_{-y}^{y} = \frac{y}{4} - (-\frac{y}{4}) = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}

Belirli integral sınırları yerine konularak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Değişken Dönüşümü

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru