Examkin

Soru

Zorluk: KolayDağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi

XX sürekli rastgele değişkeni (−2,2)(-2, 2) aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Y=∣X∣Y = |X| olarak tanımlanan rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu FY(y)F_Y(y), 0<y<20 < y < 2 aralığı için aşağıdakilerden hangisidir?

  1. y2\frac{y}{2}Cevap
  2. B
    y4\frac{y}{4}
  3. C
    y+24\frac{y+2}{4}
  4. D
    yy
  5. E
    y24\frac{y^2}{4}

Cevap

Rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu y2\frac{y}{2} olarak bulunur.
Verilen X∼U(−2,2)X \sim U(-2, 2) dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu 1/41/4 değerindedir. Y=∣X∣Y = |X| dönüşümü yapıldığında, Y≤yY \le y olması durumu XX değişkeninin −y-y ile yy arasında olması anlamına gelir. Bu aralıkta yapılan integral işlemi y−(−y)4=2y4=y2\frac{y - (-y)}{4} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
XX değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirle.
fX(x)=12−(−2)=14,−2<x<2f_X(x) = \frac{1}{2 - (-2)} = \frac{1}{4}, \quad -2 < x < 2
XX değişkeni belirtilen aralıkta düzgün dağılıma sahiptir.
2
YY değişkeni için birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) tanımını yaz.
FY(y)=P(Y≤y)=P(∣X∣≤y)F_Y(y) = P(Y \le y) = P(|X| \le y)
Birikimli dağılım fonksiyonu, değişkenin belirli bir değerden küçük veya eşit olma olasılığıdır.
3
Mutlak değer eşitsizliğini XX cinsinden ifade et ve integrali kur.
P(−y≤X≤y)=∫−yy14dxP(-y \le X \le y) = \int_{-y}^{y} \frac{1}{4} dx
∣X∣≤y|X| \le y eşitsizliği −y≤X≤y-y \le X \le y aralığına karşılık gelir.
4
İntegral işlemini tamamla.
FY(y)=[x4]−yy=y4−(−y4)=2y4=y2F_Y(y) = \left[ \frac{x}{4} \right]_{-y}^{y} = \frac{y}{4} - (-\frac{y}{4}) = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}
Belirli integral sınırları yerine konularak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Değişken Dönüşümü
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi