Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi

Bir finansal modelde, belirli bir hisse senedinin günlük getiri oranındaki sapmayı ifade eden XX rastgele değişkeni (−2,4)(-2, 4) aralığında sürekli düzgün (üniform) dağılıma sahiptir. Bu hisse senedine bağlı özel bir türev ürünün getiri dalgalanması ise Y=X2Y = X^2 dönüşümü ile modellenmektedir.

Dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılarak hesaplama yapıldığında, YY rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu olan fY(y)f_Y(y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    fY(y)={112y,0<y<160,dig˘erf_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{12\sqrt{y}}, & 0 < y < 16 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
  2. B
    fY(y)={16y,0<y<160,dig˘erf_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 0 < y < 16 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
  3. fY(y)={16y,0<y<4112y,4≤y<160,dig˘erf_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\ \frac{1}{12\sqrt{y}}, & 4 \leq y < 16 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}Cevap
  4. D
    fY(y)={112y,0<y<416y,4≤y<160,dig˘erf_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{12\sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\ \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 4 \leq y < 16 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
  5. E
    fY(y)={116,0<y<160,dig˘erf_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{16}, & 0 < y < 16 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Cevap

YY rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu 0<y<40 < y < 4 aralığında 16y\frac{1}{6\sqrt{y}} ve 4≤y<164 \leq y < 16 aralığında 112y\frac{1}{12\sqrt{y}} olacak şekilde parçalı formdadır.
Doğru cevapta, parçalı fonksiyonun kırılma noktası y=4y=4 olarak doğru belirlenmiştir. 0<y<40 < y < 4 aralığı için simetrik iki kökün (−y-\sqrt{y} ve +y+\sqrt{y}) olasılık katkısı alınırken, 4≤y<164 \leq y < 16 aralığı için XX'in alt sınırı −2-2 olduğundan sadece üst sınıra doğru artan olasılık katkısı hesaba katılmış ve türev (PDF) işlemleri doğru şekilde yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) yazılması.
X∼U(−2,4)X \sim U(-2, 4) olduğundan fX(x)=14−(−2)=16f_X(x) = \frac{1}{4 - (-2)} = \frac{1}{6} (−2<x<4-2 < x < 4 için).
Dönüşüm sonrasında YY'nin dağılımını bulmak için öncelikle XX'in tanım aralığı ve yoğunluk fonksiyonu gereklidir.
2
Y=X2Y = X^2 dönüşümü için birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) oluşturulması.
FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(−y≤X≤y)F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) olarak ifade edilir.
CDF yöntemi, hedef değişkenin dağılımını asıl değişkenin olasılık sınırları üzerinden hesaplamayı temel alır.
3
0<y<40 < y < 4 aralığı için CDF ve PDF hesaplaması.
Bu aralıkta −y-\sqrt{y} ve y\sqrt{y} değerleri [−2,4][-2, 4] içindedir. FY(y)=∫−yy16dx=2y6F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{6} dx = \frac{2\sqrt{y}}{6}. Türevi alınırsa fY(y)=16yf_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}} bulunur.
XX'in alt sınırı −2-2 olduğu için y=4y=4'e kadar olan bölgede simetrik olasılık hesabı yapılabilir.
4
4≤y<164 \leq y < 16 aralığı için CDF ve PDF hesaplaması.
Bu aralıkta −y-\sqrt{y} değeri −2-2'den küçüktür, bu yüzden alt sınır −2-2 alınır. FY(y)=∫−2y16dx=y+26F_Y(y) = \int_{-2}^{\sqrt{y}} \frac{1}{6} dx = \frac{\sqrt{y} + 2}{6}. Türevi alınırsa fY(y)=112yf_Y(y) = \frac{1}{12\sqrt{y}} bulunur.
XX, −2-2'den küçük değer alamayacağı için sol kuyruk kesilir ve olasılık hesabı sadece sağ taraftaki artıştan etkilenir.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ve Parçalı Dönüşümler
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi