Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi

Bir akıllı şebeke sisteminde, anlık güç tüketimindeki dalgalanma miktarı XX (kilowatt cinsinden) rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x)={2(x+1)9,−1<x<20,dig˘er durumlardaf(x) = \begin{cases} \frac{2(x+1)}{9}, & -1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sistemdeki aşırı yüklenme riskini analiz etmek için Y=X2Y = X^2 dönüşümü ile yeni bir rastgele değişken tanımlanıyor.

Buna göre, Dağılım Fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılarak elde edilen YY'nin 1<y<41 < y < 4 aralığındaki birikimli dağılım fonksiyonu G(y)=P(Y≤y)G(y) = P(Y \le y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    4y9\frac{4\sqrt{y}}{9}
  2. B
    y+2y9\frac{y + 2\sqrt{y}}{9}
  3. (y+1)29\frac{(\sqrt{y}+1)^2}{9}Cevap
  4. D
    (y−1)29\frac{(\sqrt{y}-1)^2}{9}
  5. E
    (y+1)29\frac{(y+1)^2}{9}

Cevap

İstenen aralıktaki birikimli dağılım fonksiyonu (y+1)29\frac{(\sqrt{y}+1)^2}{9} olarak hesaplanır.
Dağılım fonksiyonu yöntemiyle G(y)=P(X2≤y)=P(−y≤X≤y)G(y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) eşitsizliği elde edilir. Soru kökünde 1<y<41 < y < 4 şartı verildiğinden, alt sınır olan −y-\sqrt{y}, −1-1'den daha küçüktür (örneğin y=2y=2 için −2≈−1.41-\sqrt{2} \approx -1.41). Olasılık yoğunluk fonksiyonumuz ise ancak x=−1x=-1'den itibaren tanımlıdır. Bu fiziksel sınır nedeniyle integralin alt sınırının −1-1 olarak kırpılması zorunludur. ∫−1y2(x+1)9dx\int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{2(x+1)}{9} dx işlemi yürütüldüğünde sonuç (y+1)29\frac{(\sqrt{y}+1)^2}{9} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Y = X^2 rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunun genel formülünü kurmak
G(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(−y≤X≤y)G(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) elde edilir.
Dağılım fonksiyonu (CDF) yönteminin temel tanımı, yeni değişkenin olasılığını eski değişken cinsinden ifade etmektir.
2
Verilen 1<y<41 < y < 4 aralığı için entegrasyon sınırlarını, XX'in tanım kümesine göre daraltmak
Bu aralıkta −y<−1-\sqrt{y} < -1'dir. Ancak f(x)f(x) fonksiyonu en düşük x=−1x = -1 noktasında tanımlıdır. Dolayısıyla geçerli eşitsizlik sınırı −1≤X≤y-1 \le X \le \sqrt{y} olur.
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun sıfır olduğu alt bölgelerde integral alınmamalıdır; XX'in fiziksel alt sınırı dikkate alınmalıdır.
3
Belirlenen sınırlar üzerinden yoğunluk fonksiyonunun integralini almak
G(y)=∫−1y2(x+1)9dx=[19(x+1)2]−1yG(y) = \int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{2(x+1)}{9} dx = \left[ \frac{1}{9}(x+1)^2 \right]_{-1}^{\sqrt{y}} integrali kurulur.
Belirli aralıktaki olasılığı bulmak için o aralıkta PDF fonksiyonunun integrali alınır.
4
İntegral sınırlarını yerine koyarak nihai sonucu hesaplamak
G(y)=19(y+1)2−19(−1+1)2=(y+1)29G(y) = \frac{1}{9}(\sqrt{y}+1)^2 - \frac{1}{9}(-1+1)^2 = \frac{(\sqrt{y}+1)^2}{9} bulunur.
Üst sınırdan alt sınırın değerlendirilmesi çıkarılarak birikimli dağılım fonksiyonu elde edilir.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Değişken Dönüşümü

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak da çözülebilir: Önce 1<y<41 < y < 4 aralığı için yy'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu g(y)g(y) bulunur. Formül g(y)=f(y)12y+f(−y)12yg(y) = f(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} + f(-\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} şeklindedir. Ancak bu aralıkta x=−yx = -\sqrt{y} noktası tanım kümesinin (−1<x-1 < x) dışındadır. Bu nedenle sadece ilk terim hayatta kalır: g(y)=f(y)12y=2(y+1)9⋅12y=y+19yg(y) = f(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{2(\sqrt{y}+1)}{9} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}+1}{9\sqrt{y}}. Ardından bu fonksiyon integrali alınarak birikimli dağılıma geçilir: G(y)=G(1)+∫1yt+19tdtG(y) = G(1) + \int_1^y \frac{\sqrt{t}+1}{9\sqrt{t}} dt. Sınır koşulu olan G(1)=4/9G(1) = 4/9 değeri ve integral işlemi eklendiğinde aynı (y+1)29\frac{(\sqrt{y}+1)^2}{9} sonucuna kusursuzca ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi