Examkin

Soru

Zorluk: ZorDağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi

Bir endüstriyel üretim bandında üretilen parçaların standart ölçüden sapma miktarı XX (milimetre cinsinden) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in −1-1 ile 33 değerleri arasında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Kalite kontrol birimi, parçaların hata alanını değerlendirmek için Y=X2Y = X^2 dönüşümü ile yeni bir risk faktörü değişkeni tanımlamıştır.

Buna göre, dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılarak hesaplandığında, YY risk faktörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)f_Y(y) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. 0<y<10 < y < 1 için 14y\frac{1}{4\sqrt{y}} ve 1≤y<91 \le y < 9 için 18y\frac{1}{8\sqrt{y}}Cevap
  2. B
    0<y<90 < y < 9 için 18y\frac{1}{8\sqrt{y}}
  3. C
    0<y<90 < y < 9 için 14y\frac{1}{4\sqrt{y}}
  4. D
    0<y<10 < y < 1 için 12\frac{1}{2} ve 1≤y<91 \le y < 9 için 14\frac{1}{4}
  5. E
    0<y<10 < y < 1 için 12y\frac{1}{2\sqrt{y}} ve 1≤y<91 \le y < 9 için 14y\frac{1}{4\sqrt{y}}

Cevap

0 < y < 1 için fonksiyon 1/(4√y) ve 1 ≤ y < 9 için fonksiyon 1/(8√y) olarak iki parçalı tanımlanan seçenektir.
Doğru yanıt, Y'nin CDF'si hesaplanırken X'in asimetrik tanım aralığı sınırlarına (-1 ile 3) dikkat edilerek integrasyon bölgesinin ikiye ayrılmasıyla elde edilen parçalı fonksiyondur. 0 < y < 1 aralığında X, her iki kökü (-\sqrt{y} ve \sqrt{y}) de içerdiği için CDF'nin türevine çift yönlü katkı gelir ve yoğunluk 1/(4\sqrt{y}) olur. Ancak 1 < y < 9 aralığında X'in alt sınırı -1'de kesildiği için integral -1'den \sqrt{y}'ye kadar alınır, bu yüzden sadece pozitif yönden katkı gelir ve yoğunluk yarıya düşerek 1/(8\sqrt{y}) olur.

Adım Adım Çözüm

1
XX rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirleme.
X∼U(−1,3)X \sim U(-1, 3) olduğu için aralık uzunluğu 3−(−1)=43 - (-1) = 4'tür. Dolayısıyla −1<x<3-1 < x < 3 için fX(x)=14f_X(x) = \frac{1}{4} olur.
Dönüşüm sırasında başlangıç dağılımının temel özellikleri kullanılarak CDF hesaplanmalıdır.
2
Y=X2Y = X^2 dönüşümü için birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) genel tanımını yazma.
FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(−y≤X≤y)F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}).
CDF yöntemi, hedef değişkenin dağılım fonksiyonunu başlangıç değişkeninin dağılım fonksiyonu cinsinden ifade etmeyi gerektirir.
3
yy'nin 0<y<10 < y < 1 aralığındaki bölgesi için olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplama.
Bu aralıkta −y>−1-\sqrt{y} > -1 olduğundan tüm alan XX'in tanım kümesindedir. FY(y)=∫−yy14dx=2y4=y2F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{4} dx = \frac{2\sqrt{y}}{4} = \frac{\sqrt{y}}{2}. Türevi alındığında fY(y)=14yf_Y(y) = \frac{1}{4\sqrt{y}} bulunur.
Y'nin küçük değerleri için X'in hem negatif hem de pozitif tarafı simetrik olarak integral sınırları içinde kalır.
4
yy'nin 1≤y<91 \le y < 9 aralığındaki bölgesi için olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplama.
Bu aralıkta −y≤−1-\sqrt{y} \le -1 olur. Ancak XX, −1-1'den küçük değerler alamadığı için integral −1-1'den başlar. FY(y)=∫−1y14dx=y−(−1)4=y+14F_Y(y) = \int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{1}{4} dx = \frac{\sqrt{y} - (-1)}{4} = \frac{\sqrt{y} + 1}{4}. Türevi alındığında fY(y)=18yf_Y(y) = \frac{1}{8\sqrt{y}} bulunur.
Y'nin büyük değerleri için X'in negatif tarafındaki sınır, dağılımın kendi tanım aralığı olan -1 noktasına takılır.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Bire-Bir Olmayan Dönüşümler
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi