Bir sinyal işleme sisteminde, arka plan gürültüsünün genliği X sürekli rastgele değişkeni … — KPSS İstatistik

Bir sinyal işleme sisteminde, arka plan gürültüsünün genliği $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{2(x+1)}{9}, & -1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sistemin ürettiği enerji tepkisi ise genliğin karesi ile orantılı olup $Y = X^2$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılarak $Y$ 'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ elde edilmek istendiğinde, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2}{9\sqrt{y}}, & 0 < y \le 1 \\ \frac{\sqrt{y} + 1}{9\sqrt{y}}, & 1 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$ Cevap
B
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{\sqrt{y} + 1}{9\sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$
C
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2}{9\sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$
D
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{\sqrt{y} + 1}{9\sqrt{y}}, & 0 < y \le 1 \\ \frac{2}{9\sqrt{y}}, & 1 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$
E
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2}{9\sqrt{y}}, & 0 < y \le 2 \\ \frac{\sqrt{y} + 1}{9\sqrt{y}}, & 2 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$

Cevap

Y

'nin tanımlı olduğu aralıklar

0 < y \le 1

1 < y < 4

olarak iki parçaya ayrılarak yoğunluk fonksiyonu doğru sınırlarla hesaplanmalıdır.

Dağılım fonksiyonu yönteminde,

Y=X^2

dönüşümü için

F_Y(y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y})

eşitsizliği temel alınır.

X

'in tanımlı olduğu aralık

(-1, 2)

olduğundan,

Y \in (0, 1]

değerleri için integral sınırları

-\sqrt{y}

ile

\sqrt{y}

arasındadır. Fakat

Y \in (1, 4)

değerleri için

-\sqrt{y} < -1

olacağından integralin alt sınırı zorunlu olarak

-1

noktasından başlatılmalıdır. İki farklı durum için integraller alınıp

y

'ye göre türevlendiğinde, her iki parça için doğru yoğunluk fonksiyonu parçaları elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Y=X^2

için Dağılım Fonksiyonu (CDF) eşitsizliğini kurmak.

F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y})

olarak yazılır.

Olasılık yoğunluk fonksiyonuna geçmeden önce aralık sınırlarını birikimli olasılık (CDF) tanımı üzerinden netleştirmek gerekir.

X

'in

(-1, 2)

tanım aralığını dikkate alarak

Y

'nin sınırlarını parçalara ayırmak.

Kare alındığında

Y \in (0, 4)

aralığına düşer. Ancak

X

'in negatif sınırı

-1

olduğundan,

\sqrt{y} > 1

olduğunda alt sınır aşılır. Bu yüzden hesaplama

0 < y \le 1

1 < y < 4

olarak ikiye bölünmelidir.

Dönüşüm fonksiyonu (

X^2

) monoton olmadığı için ve

X

asimetrik bir aralıkta tanımlı olduğu için integral sınırları her

y

değeri için sabit kalmaz.

0 < y \le 1

aralığı için yoğunluk fonksiyonunu hesaplamak.

Bu aralıkta

-\sqrt{y}

alt sınırı

-1

'den büyük olduğundan

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{2x+2}{9} dx = \frac{1}{9} [x^2 + 2x]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \frac{4\sqrt{y}}{9}

bulunur. Türevi alındığında

f_Y(y) = \frac{2}{9\sqrt{y}}

elde edilir.

Bu bölgede

\pm\sqrt{y}

sınırlarının ikisi de

X

'in tanım aralığı

(-1, 2)

içindedir.

1 < y < 4

aralığı için yoğunluk fonksiyonunu hesaplamak.

Bu bölgede

-\sqrt{y}

değeri

-1

'den küçüktür. Bu sebeple alt sınır

-1

olmalıdır.

F_Y(y) = \int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{2x+2}{9} dx = \frac{1}{9} (y + 2\sqrt{y} + 1)

bulunur. Türevi alındığında

f_Y(y) = \frac{\sqrt{y} + 1}{9\sqrt{y}}

elde edilir.

y

'nin 1'den büyük olduğu durumlarda

X

'in negatif ucundan artık ek olasılık gelmez.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yönteminde Parçalı Bölgeler ve Sınırların Belirlenmesi

Tahmini Süre:4m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular