Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) veritabanında yer alan hanehalkı aylık tüketim harcamalarının, şekil parametresi α>0\alpha > 0 ve ölçek parametresi β>0\beta > 0 olan Gama dağılımına uyduğu varsayılmaktadır. Gama dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;α,β)=1Γ(α)βαxα−1e−x/β,x>0f(x; \alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}, \quad x > 0

Bu kitleden alınan nn birimlik bağımsız X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemi kullanılarak θ=(α,β)\boldsymbol{\theta} = (\alpha, \beta) bilinmeyen parametre vektörü tahmin edilmek istenmektedir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, (α,β)(\alpha, \beta) parametre vektörü için ortak yeterli (jointly sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (∏i=1nXi,∑i=1nXi)\left( \prod_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i \right)Cevap
  2. B
    (∑i=1nXi,∑i=1nXi2)\left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right)
  3. C
    (min⁡1≤i≤nXi,∑i=1nXi)\left( \min_{1 \leq i \leq n} X_i, \sum_{i=1}^n X_i \right)
  4. D
    (∏i=1nXi,max⁡1≤i≤nXi)\left( \prod_{i=1}^n X_i, \max_{1 \leq i \leq n} X_i \right)
  5. E
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i

Cevap

Ortak yeterli istatistik, gözlemlerin çarpımı ve toplamından oluşan (∏i=1nXi,∑i=1nXi)(\prod_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i) vektörüdür.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremine göre, olabilirlik fonksiyonu parametrelere ve bir istatistiğe bağlı olan g(T(x)∣θ)g(T(x)|\theta) fonksiyonu ile sadece gözlemlere bağlı olan h(x)h(x) fonksiyonunun çarpımı olarak yazılabiliyorsa, T(x)T(x) yeterli istatistiktir. Gama dağılımı için olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde parametrelere bağlı kısım hem gözlemlerin çarpımını (∏Xi\prod X_i) hem de gözlemlerin toplamını (∑Xi\sum X_i) içerdiği için, bu iki değer ortak yeterli istatistik vektörünü oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu oluşturun.
L(α,β;x)=∏i=1n[1Γ(α)βαxiα−1e−xi/β]L(\alpha, \beta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} x_i^{\alpha-1} e^{-x_i/\beta} \right]
Yeterli istatistikleri bulmak için gözlemlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun parametrelere göre ifade edilmesi gerekir.
2
Çarpım işlemini dağıtarak olabilirlik fonksiyonunu düzenleyin.
L(α,β;x)=(1Γ(α)βα)n(∏i=1nxi)α−1exp⁡(−1β∑i=1nxi)L(\alpha, \beta; \mathbf{x}) = \left( \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} \right)^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\alpha-1} \exp\left( -\frac{1}{\beta} \sum_{i=1}^n x_i \right)
Neyman teoremine hazırlık yapmak için parametre içeren terimler ile örneklem değerlerini gruplamak şarttır.
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini (L=g(T(x)∣θ)⋅h(x)L = g(T(\mathbf{x}) | \boldsymbol{\theta}) \cdot h(\mathbf{x})) uygulayın.
g(T,θ)=(1Γ(α)βα)n(∏i=1nxi)α−1exp⁡(−1β∑i=1nxi)g(T, \boldsymbol{\theta}) = \left( \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} \right)^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\alpha-1} \exp\left( -\frac{1}{\beta} \sum_{i=1}^n x_i \right) ve h(x)=1h(\mathbf{x}) = 1 olarak ayrıştırılır.
Parametrelere (α,β\alpha, \beta) bağlı olan gg fonksiyonunun içindeki örneklem fonksiyonları, aranan ortak yeterli istatistikleri verir. Bu fonksiyonlar ∏Xi\prod X_i ve ∑Xi\sum X_i'dir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Yeterlilik)
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru