Bir üniversitede uygulanan çevrimiçi bir sınavda, öğrencilerin sınavı tamamlama süreleri (… — KPSS İstatistik

Bir üniversitede uygulanan çevrimiçi bir sınavda, öğrencilerin sınavı tamamlama süreleri (dakika cinsinden) $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. Çoğu öğrencinin süreyi sonuna kadar kullandığı gözlemlenmiş olup, $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu $\theta > 0$ (sınavın maksimum süresi) olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{4x^3}{\theta^4}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sınavı tamamlayan öğrenciler arasından alınan $n$ birimlik rastgele bir örneklemin ortalaması $\bar{X}$ 'tir. Sınav sisteminin analiz modülü, bilinmeyen maksimum $\theta$ süresini tahmin etmek için $T = \bar{X}$ istatistiğini kullanmaktadır.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta$ parametresi için Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{2}{75n}\theta^2$
B
$\frac{1}{24n}\theta^2$
$\frac{3n+2}{75n}\theta^2$ Cevap
D
$\frac{48n+2}{75n}\theta^2$
E
$\frac{15n+2}{75n}\theta^2$

Cevap

MSE(T) = \frac{3n+2}{75n}\theta^2

ifadesidir.

Doğru Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri hesaplanırken, öncelikle örneklem ortalamasının beklenen değeri ve varyansı bulunur. Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun integrali üzerinden

E[X] = \frac{4}{5}\theta

Var(X) = \frac{2}{75}\theta^2

elde edilir. Buradan

T=\bar{X}

'in yanlı bir tahmin edici olduğu görülür çünkü beklenen değeri parametrenin kendisine değil,

\frac{4}{5}

'ine eşittir. Yan (Bias) miktarı

E[\bar{X}] - \theta = -\frac{1}{5}\theta

olur. MSE formülü

MSE = Var(\bar{X}) + Bias^2

olduğundan,

\frac{2}{75n}\theta^2 + (-\frac{1}{5}\theta)^2 = \frac{2}{75n}\theta^2 + \frac{1}{25}\theta^2

işlemi yapılır. Paydalar

75n

değerinde eşitlendiğinde sonuç

\frac{3n+2}{75n}\theta^2

olarak eksiksiz bulunur.

Adım Adım Çözüm

Kitle dağılımının beklenen değerini (

E[X]

) ve varyansını (

Var(X)

) hesaplayın.

E[X] = \int_0^\theta x \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \left[ \frac{4x^5}{5\theta^4} \right]_0^\theta = \frac{4}{5}\theta

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \left[ \frac{4x^6}{6\theta^4} \right]_0^\theta = \frac{2}{3}\theta^2

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{3}\theta^2 - \left(\frac{4}{5}\theta\right)^2 = \frac{50-48}{75}\theta^2 = \frac{2}{75}\theta^2

Örneklem ortalamasının özelliklerini türetebilmek için öncelikle popülasyonun (kitlenin) beklenen değeri ve varyansı bulunmalıdır.

T = \bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını belirleyin.

E[\bar{X}] = E[X] = \frac{4}{5}\theta

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{2}{75n}\theta^2

Örneklem ortalamasının dağılımına ait özellikler bağımsız örneklemler üzerinden ifade edilir.

Tahmin edicinin yan (bias) miktarını türetin ve karesini alın.

Bias(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{4}{5}\theta - \theta = -\frac{1}{5}\theta

Bias(\bar{X})^2 = \left(-\frac{1}{5}\theta\right)^2 = \frac{1}{25}\theta^2

Tahmin edici yansız olmadığı için (

E[\bar{X}] \neq \theta

), Hata Kareler Ortalaması hesabında yan miktarının karesine ihtiyaç vardır.

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygulayın.

MSE(\bar{X}) = Var(\bar{X}) + Bias(\bar{X})^2 = \frac{2}{75n}\theta^2 + \frac{1}{25}\theta^2

Paydaları

75n

üzerinde eşitlediğimizde (

\frac{1}{25}\theta^2 = \frac{3n}{75n}\theta^2

MSE(\bar{X}) = \frac{3n+2}{75n}\theta^2

Bir tahmin edicinin genel performansı MSE üzerinden varyans ve yan karesi toplamı ile ifade edilir.

Anahtar Kavram

Tahmin ediciler için yansızlık durumunun kontrol edilmesi ve yanlı tahmin edicilerde performansın MSE (Hata Kareler Ortalaması = Varyans + Yan^2) kullanılarak ölçülmesi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru