Bir elektronik donanım üreticisinde, iki farklı alt bileşenin test edilme süreleri X ve Y … — KPSS İstatistik

Bir elektronik donanım üreticisinde, iki farklı alt bileşenin test edilme süreleri $X$ ve $Y$ bağımsız rastgele değişkenleri ile ifade edilmektedir. Bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir:

M_X(t) = e^{12t + 2t^2}

M_Y(t) = e^{15t + 4,5t^2}

Bu iki bileşenden oluşan nihai ürünün toplam test ve onay maliyeti, zaman ve sabit giderler göz önüne alınarak $W = 3X - 2Y + 10$ fonksiyonu ile modellenmektedir.

Moment çıkaran fonksiyonu (MGF) tekliği teoreminden yararlanarak, $W$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_W(t)$ ve standart sapması ( $\sigma_W$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

A
$M_W(t) = e^{16t + 15t^2}$ ve $\sigma_W = \sqrt{30}$
B
$M_W(t) = e^{16t}$ ve $\sigma_W = 0$
$M_W(t) = e^{16t + 36t^2}$ ve $\sigma_W = 6\sqrt{2}$ Cevap
D
$M_W(t) = e^{6t + 36t^2}$ ve $\sigma_W = 6\sqrt{2}$
E
$M_W(t) = e^{16t + 36t^2}$ ve $\sigma_W = 6$

Cevap

M_W(t) = e^{16t + 36t^2}

\sigma_W = 6\sqrt{2}

değerlerini içeren seçenektir.

Verilen

M_X(t)

M_Y(t)

fonksiyonları normal dağılıma aittir ve parametreleri sırasıyla

\mu_X=12, \sigma_X^2=4

ile

\mu_Y=15, \sigma_Y^2=9

olarak bulunur.

W = 3X - 2Y + 10

dönüşümünün MGF'si bağımsızlık özelliğinden ötürü

M_W(t) = e^{10t}M_X(3t)M_Y(-2t)

kuralıyla hesaplanır. Veriler yerine konulduğunda sonuç

e^{16t+36t^2}

çıkar. Elde edilen fonksiyonda varyansın yarısı 36'ya eşit olduğundan,

\sigma_W^2 = 72

\sigma_W = 6\sqrt{2}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

X

Y

rastgele değişkenlerinin dağılımlarını ve parametrelerini belirleyin.

Normal dağılımın

M(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

yapısı kullanılarak:

\mu_X=12, \frac{1}{2}\sigma_X^2=2 \implies \sigma_X^2=4

\mu_Y=15, \frac{1}{2}\sigma_Y^2=4,5 \implies \sigma_Y^2=9

bulunur.

MGF tekliği teoremi uyarınca bir rastgele değişkenin dağılımı ve parametreleri, moment çıkaran fonksiyonu yardımıyla kesin olarak tanımlanabilir.

W = 3X - 2Y + 10

dönüşümü için MGF kuralını uygulayın.

M_W(t) = E[e^{t(3X - 2Y + 10)}] = e^{10t} \cdot M_X(3t) \cdot M_Y(-2t)

eşitliği elde edilir.

Bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun MGF'si, bireysel MGF'lerin uygun katsayılarla değerlendirilip çarpılmasıyla elde edilir.

M_X(3t)

M_Y(-2t)

ifadelerini hesaplayarak

M_W(t)

'yi bulun.

M_X(3t) = e^{12(3t) + 2(3t)^2} = e^{36t + 18t^2}

M_Y(-2t) = e^{15(-2t) + 4,5(-2t)^2} = e^{-30t + 18t^2}

M_W(t) = e^{10t} \cdot e^{36t+18t^2} \cdot e^{-30t+18t^2} = e^{(10 + 36 - 30)t + (18 + 18)t^2} = e^{16t + 36t^2}

Üstel fonksiyonların çarpımı kuralıyla üsler toplanarak nihai rastgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu oluşturulur.

Elde edilen

M_W(t)

üzerinden standart sapmayı hesaplayın.

MGF yapısındaki

t^2

'nin katsayısı

\frac{1}{2}\sigma_W^2

'ye eşittir.

\frac{1}{2}\sigma_W^2 = 36 \implies \sigma_W^2 = 72

elde edilir. Buradan standart sapma

\sigma_W = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}

olarak bulunur.

MGF formülündeki katsayıların doğru eşleştirilmesiyle varyans ve standart sapma değerleri çıkarılır.

Anahtar Kavram

Bağımsız Rastgele Değişkenlerin Doğrusal Dönüşümleri ve MGF Yöntemi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular