X_1 ve X_2 bağımsız rastgele değişkenlerinin moment çıkaran fonksiyonları sırasıyla aşağıd… — KPSS İstatistik

$X_1$ ve $X_2$ bağımsız rastgele değişkenlerinin moment çıkaran fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir:

M_{X_1}(t) = (0.4 + 0.6 e^t)^3

M_{X_2}(t) = (0.4 + 0.6 e^t)^2

$Y = 5(X_1 + X_2) - 4$ biçiminde tanımlanan $Y$ rastgele değişkeni için, $Y$ 'nin moment çıkaran fonksiyonu $M_Y(t)$ ve varyansı $Var(Y)$ aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

$M_Y(t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5$ ve $Var(Y) = 30$ Cevap
B
$M_Y(t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^t)^5$ ve $Var(Y) = 6$
C
$M_Y(t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5$ ve $Var(Y) = 26$
D
$M_Y(t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5$ ve $Var(Y) = 2$
E
$M_Y(t) = e^{-4} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5$ ve $Var(Y) = 34$

Cevap

Dönüştürülmüş değişkenin moment çıkaran fonksiyonu

M_Y(t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5

ve varyansı

Var(Y) = 30

olarak hesaplanan seçenektir.

Bağımsız değişkenlerin toplamının moment çıkaran fonksiyonu

M_{X_1+X_2}(t) = (0.4 + 0.6 e^t)^5

olarak bulunur. Bu fonksiyon,

n=5

p=0.6

olan bir Binom dağılımına aittir. Bu toplamın varyansı

5 \times 0.6 \times 0.4 = 1.2

dir.

Y = 5(X_1+X_2) - 4

doğrusal dönüşümü uygulandığında, MGF kuralı gereği

M_Y(t) = e^{-4t} M_{X_1+X_2}(5t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5

elde edilir. Varyans kuralı gereği ise

Var(Y) = 5^2 \times Var(X_1+X_2) = 25 \times 1.2 = 30

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

X_1 + X_2

toplamının moment çıkaran fonksiyonunu hesaplama.

M_{X_1+X_2}(t) = M_{X_1}(t) \cdot M_{X_2}(t) = (0.4 + 0.6 e^t)^3 \cdot (0.4 + 0.6 e^t)^2 = (0.4 + 0.6 e^t)^5

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının MGF'si, bireysel MGF'lerin çarpımına eşittir.

X_1 + X_2

değişkeninin dağılımını belirleme.

X_1 + X_2 \sim \text{Binom}(n=5, p=0.6)

MGF'nin benzersizliği (uniqueness) teoremine göre, elde edilen MGF Binom dağılımının standart formuna, yani

(q + pe^t)^n

ifadesine uymaktadır.

X_1 + X_2

değişkeninin varyansını hesaplama.

Var(X_1+X_2) = n \cdot p \cdot (1-p) = 5 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 1.2

Binom dağılımının temel parametrik varyans formülü uygulanmıştır.

Y = 5(X_1 + X_2) - 4

için MGF kuralını uygulama.

M_Y(t) = e^{-4t} M_{X_1+X_2}(5t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5

Doğrusal dönüşüm kuralına göre

Y = aX + b

için moment çıkaran fonksiyon

M_Y(t) = e^{bt} M_X(at)

olmalıdır.

Y

değişkeninin varyansını hesaplama.

Var(Y) = 5^2 \cdot Var(X_1+X_2) = 25 \cdot 1.2 = 30

Varyansın doğrusal dönüşüm özelliği olan

Var(aX + b) = a^2 Var(X)

eşitliği kullanılmıştır, sabit terimlerin varyansa etkisi yoktur.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyon ile Bağımsız Değişken Toplamları ve Doğrusal Dönüşümler

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular