Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi

Bir otonom aracın şerit takip algoritmalarının test aşamasında, aracın ideal rotadan yanal sapma miktarı XX (metre cinsinden) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Yapılan ölçümlere göre XX, (−1,2)(-1, 2) aralığında sürekli düzgün dağılıma (uniform distribution) sahiptir. Aracın şeritten sapma kaynaklı algoritmik risk skoru ise sapma miktarının karesi alınarak Y=X2Y = X^2 fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, risk skoru YY'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)f_Y(y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. fY(y)={13y,0<y<116y,1≤y<4f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3\sqrt{y}}, & 0 < y < 1 \\ \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 1 \le y < 4 \end{cases}Cevap
  2. B
    fY(y)=16y,0<y<4f_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}}, \quad 0 < y < 4
  3. C
    fY(y)=13y,0<y<4f_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}}, \quad 0 < y < 4
  4. D
    fY(y)=13,0<y<4f_Y(y) = \frac{1}{3}, \quad 0 < y < 4
  5. E
    fY(y)={16y,0<y<113y,1≤y<4f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 0 < y < 1 \\ \frac{1}{3\sqrt{y}}, & 1 \le y < 4 \end{cases}

Cevap

Doğru yoğunluk fonksiyonu, 0<y<10 < y < 1 aralığında 1/(3y)1/(3\sqrt{y}) ve 1≤y<41 \le y < 4 aralığında 1/(6y)1/(6\sqrt{y}) değerini alan parçalı fonksiyondur.
Karesel dönüşüm Y=X2Y = X^2 bire-bir olmadığı için dağılım fonksiyonu P(−y≤X≤y)P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) olarak ifade edilmelidir. XX'in alt sınırı −1-1 olduğundan, y>1\sqrt{y} > 1 (yani y>1y > 1) durumunda integralin alt sınırı −y-\sqrt{y} değil, −1-1 olmalıdır. Bu nedenle 0<y<10 < y < 1 aralığında iki taraflı simetrik integral, 1≤y<41 \le y < 4 aralığında ise tek taraflı (alt sınırı sabit) olasılık hesaplanarak türev alınması doğru olan parçalı fonksiyonu verir.

Adım Adım Çözüm

1
XX rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirleme.
X∼U(−1,2)X \sim U(-1, 2) olduğundan, fX(x)=12−(−1)=13f_X(x) = \frac{1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3} (sınırlar: −1<x<2-1 < x < 2) olarak yazılır.
YY'nin dağılım fonksiyonunu bulurken integrali alınacak olasılık yoğunluk fonksiyonunu netleştirmek için.
2
Y=X2Y = X^2 dönüşümü için Dağılım Fonksiyonu (CDF) eşitliğini kurma.
FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(−y≤X≤y)F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}). YY'nin tanım kümesi X∈(−1,2)X \in (-1, 2) olduğundan 0≤y<40 \le y < 4 olarak belirlenir.
Karesel dönüşümlerde bire-bir olmayan yapıyı hesaba katmak ve aralık hesabına geçmek için.
3
0<y<10 < y < 1 aralığı için CDF hesaplama ve olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulma.
Bu aralıkta −y-\sqrt{y} değeri −1-1'den büyüktür. Dolayısıyla her iki sınır da XX'in tanım kümesindedir. FY(y)=∫−yy13dx=2y3F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} dx = \frac{2\sqrt{y}}{3} olur. Y'ye göre türevi alınarak fY(y)=13yf_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}} bulunur.
Tanım kümesinin her iki yönde de sınırlar içinde kaldığı bölgedeki fonksiyon davranışını elde etmek için.
4
1≤y<41 \le y < 4 aralığı için CDF hesaplama ve olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulma.
Bu aralıkta −y-\sqrt{y} değeri −1-1'den küçüktür, bu yüzden alt sınır −1-1 ile kesilir. FY(y)=∫−1y13dx=y−(−1)3=y+13F_Y(y) = \int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} dx = \frac{\sqrt{y} - (-1)}{3} = \frac{\sqrt{y} + 1}{3} olur. Türevi alınarak fY(y)=16yf_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}} bulunur.
XX'in negatif bölgedeki tanım aralığının sınırını hesaba katarak doğru olasılık değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde CDF Yöntemi ile Karesel Dönüşüm
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi