Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Bir Tarım Bakanlığı araştırmacısı, belirli bir buğday türünün hektar başına veriminin (ton) kitle ortalaması (μ\mu) için n=25n=25 parsellik bir rastgele örneklem seçmiştir. Araştırmacı, kitle varyansının bilinmediğini varsayarak %95\%95 güven düzeyindeki güven aralığını [41.744,58.256][41.744, 58.256] olarak hesaplamıştır.

İlerleyen aşamada, geçmiş yıllara ait kesin kayıtlardan kitle varyansının aslında bilindiği ve bu değerin tesadüfi olarak örneklem varyansına tam olarak eşit olduğu (σ2=s2\sigma^2 = s^2) anlaşılmıştır.

Buna göre, kitle varyansının bilindiği bilgisi kullanılarak aynı verilerle yeniden hesaplanacak %95\%95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Kritik değerler: Z0.025=1.96Z_{0.025} = 1.96, t24,0.025=2.064t_{24, 0.025} = 2.064, t25,0.025=2.060t_{25, 0.025} = 2.060)

  1. A
    [41.760,58.240][41.760, 58.240]
  2. B
    [41.998,58.002][41.998, 58.002]
  3. [42.160,57.840][42.160, 57.840]Cevap
  4. D
    [42.318,57.682][42.318, 57.682]
  5. E
    [10.800,89.200][10.800, 89.200]

Cevap

Doğru güven aralığı [42.160,57.840][42.160, 57.840] aralığıdır.
Kitle varyansı bilinmediğinde güven aralığı tt-dağılımı ile hesaplanır. İlk aralıktan örneklem ortalamasının 5050 ve hata payının 8.2568.256 olduğu görülür. 8.256=2.064×(s/5)8.256 = 2.064 \times (s / 5) denkleminden örneklem standart sapması s=20s = 20 bulunur. İkinci aşamada, kitle varyansının bilindiği varsayımına geçildiğinde ZZ-dağılımı (Z=1.96Z = 1.96) kullanılmalıdır. Yeni hata payı 1.96×(20/5)=7.841.96 \times (20 / 5) = 7.84 olur. Örneklem ortalaması olan 50'den bu yeni hata payı çıkarılıp eklendiğinde doğru güven aralığı olan [42.160,57.840][42.160, 57.840] elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ilk güven aralığından örneklem ortalamasını (xˉ\bar{x}) ve ilk hata payını (E1E_1) bulmak.
xˉ=41.744+58.2562=50\bar{x} = \frac{41.744 + 58.256}{2} = 50 ve E1=58.256−50=8.256E_1 = 58.256 - 50 = 8.256 bulunur.
Güven aralığı, örneklem ortalaması etrafında simetrik olarak hata payının çıkarılıp eklenmesiyle elde edilir.
2
Kitle varyansı bilinmediği durumdaki hata payı formülünü kullanarak örneklem standart sapmasını (ss) hesaplamak.
E1=t24,0.025×sn⇒8.256=2.064×s5⇒8.256=0.4128×s⇒s=20E_1 = t_{24, 0.025} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \Rightarrow 8.256 = 2.064 \times \frac{s}{5} \Rightarrow 8.256 = 0.4128 \times s \Rightarrow s = 20 bulunur.
Başlangıçta varyans bilinmediğinden n−1=24n-1 = 24 serbestlik dereceli tt-dağılımı kullanılarak aralık oluşturulmuştur.
3
Kitle varyansının bilindiği (σ=s=20\sigma = s = 20) yeni durum için ZZ-dağılımı ile yeni hata payını (E2E_2) hesaplamak.
E2=Z0.025×σn=1.96×205=1.96×4=7.84E_2 = Z_{0.025} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times \frac{20}{5} = 1.96 \times 4 = 7.84 bulunur.
Kitle varyansı tam olarak bilindiğinde, güven aralığı hesaplamasında standart normal dağılım (ZZ) kullanılır.
4
Yeni hata payını örneklem ortalamasına uygulayarak nihai güven aralığını elde etmek.
Alt sınır: 50−7.84=42.16050 - 7.84 = 42.160, Üst sınır: 50+7.84=57.84050 + 7.84 = 57.840. Yeni aralık [42.160,57.840][42.160, 57.840] olur.
Güven aralığı, nokta tahmini üzerinden yeni hata payı ile oluşturulur.

Anahtar Kavram

Kitle varyansının bilinip bilinmemesine göre t veya Z dağılımının seçimi ve güven aralığı sınırlarından standart sapmanın tersine hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Hata paylarının birbirine oranını kullanarak doğrudan bir geçiş yapılabilir: Yeni Hata Payı = Eski Hata Payı * (Z / t) = 8.256 * (1.96 / 2.064) = 7.84. Bu yöntem, s değerini açıkça hesaplamadan direkt sonuca ulaşmayı sağlar.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru